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复变函数与积分变换 教材:《复变函数与积分变换》 朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社 复变函数与积分变换 课程性质:考查 第一章 复数及复变函数 §1.1 复数及其运算 §1.2 复平面的几何表示 §1.3 复数的乘幂与方根 §1.4 复平面上的点集 §1.5 复变函数 §1.6 复变函数的极限与连续 * * 例11 解 * * 例12 解 即 * * 例13 解 故原方程可写成 * 故原方程的根为 * 例14 证 利用复数相等可知: * 等式得证. * Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia 欧拉资料 * Abraham de Moivre 棣莫佛资料 Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England 作业:习题一 35页: 5 (1) (3) 8(1) (3) 习题一新书32页：5 (1) (3) 8(1) (3) * 二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: * 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. * 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). * 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 * 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 * 4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 * 三、典型例题 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). * 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. * 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. * 有界的多连通域. * 例2 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. * 是多连通域. 不是区域. * * 单连通域. * 三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算;复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面.重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 棣莫佛(de Moivre)公式 * 思考题 2. 是否任意复数都有确定的辐角? 1. 复数为什么不能比较大小？ * 思考题1答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. * 思考题2答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按Esc退出. * 例1 解 更多参考例子 * 例2 解 * 例6 解 * 例3 证 * 例4 解 (三角式) (指数式) * 例5 解 * 例6 证 * 两边同时开方得 * 例7 证 * 两边平方, 并化简得 * 例8 证 * 两边同时平方, * 例9 解 * 例10 解 如图所示, * 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 * 故三角表示式为 指数表示式为 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. * 例2 解 所以它的复数形式的参数方程为 * 所以它的复数形式的参数方程为 异常重要 * 例3 求下列方程所表示的曲线: 解 方法二： * 化简后得 * 二 复球面与无穷远点 1. 南极、北极的定义 * 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 2. 复球面的定义 * 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说,