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第五章 时间序列分析与建模简介 时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66 ARMA模型分析 一、模型类 把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ xk }视为以正态同分布白噪声序列{ ak }为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为 ( (z-1) xk = ((z-1) ak 式（5-1-1） 其中：( (z-1) = 1- (1 z-1-…- (n z-n ( (z-1) = 1- (1 z-1-…- (m z-m 离散传函 式（5-1-2） 为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子 即： B xk = xk-1 B即z-1，B2即z-2… ( (B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；((B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。 二、关于格林函数和时间序列的稳定性 1．格林函数Gi 格林函数Gi 用以把xt 表示成at 及at 既往值的线性组合。 式（5-1-3） GI 可以由下式用长除法求得： 例1．AR(1): xt - (1x t-1 = a t 即： Gj = (1j （显示） 例2．ARMA (1,1): xt - (1x t-1 = a t - (1a t G0= 1 ; Gj = ((1- (1) (1j-1 ,j ( 1 （显示） 例3．ARMA (2,1) (1 - (1B - (2 B2)x t = (a t - (1 B ) a t 得出：G0= 1 G1 = (0G0- (1 G2 = (1G1+ (2G0 . . . . . Gj = (1Gj-1+ (2Gj-2 （j ( 2） Gj 为满足方程 (1 - (1B - (2 B2) Gj= 0 的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m) 模型。 2．格林函数与系统稳定性 当j ( ( 时：Gj ( 有界，则系统稳定；Gj ( 衰减，则系统渐进稳定；Gj 发散，则系统不稳定。 例： AR(1): Gj = (1j 当 (( ( 1时，Gj ( 衰减，渐进稳定； 当 (( (= 1时，Gj = (1j = 1，有界，则系统稳定； 当 (( ( 1时，Gj 发散，不稳定。 例： ARMA (2,1) (1 和 (2和为特征方程的根，有(1 + (2 = (1 和 (1 (2 = (2 当 ((1 ( 1 且 ((2 ( 1 时，ARMA (2,1) 渐进稳定；当 ((1 (= 1 且 ((2 ( 1 或((1 ( 1 且 ((2 (= 1时，ARMA (2,1) 稳定； 当 ((1 (= ((2 (且 或(1 = (2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA (2, ×) 的稳定域如下图所示。 ARMA (2,m) 的稳定域 三、逆函数与逆稳定性 逆函数I j 表示x t的既往值对当前值的影响，与格林函数G j 表示既往的a t值对x t的影响正相反。 定义： 即： 或：a t = ( 1- I 1 B- I 2 B2- …) x t at 格林函数 xt xt 逆函数 at 系统逆稳定的条件是 ((B) 的根 (( ( 1 （落在单位园内）。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果(( ( 1，即意味着过时愈久的xt 的老数据对xt 的现在值影响愈大，这显然是不合理的。 5. 自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略) §5 —2 时间序列建模及其应用 一、关于吴宪民 and Pandit的建模策略简介 ARMA(n,m) 模型,当n 和m 设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.，确定合理的n 、m值。 穷举法（最笨的建模策略） ：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。 吴宪民 — Pandit 建模策略 目的是减少建模的搜索次数。