浅谈数学中的有限与无限 毕业论文设计.doc

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文 浅谈数学中的有限与无限 Finite and infinite in College Mathematics 姓 名： 学 号：0907019116 学 院 科学技术学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2013年4月20日  浅谈数学中的有限与无限 【摘要】数学中有限和无限的关系体现了哲学中的辩证关系，本文将从具体的实例谈起如：定积分、数列极限公式、球表面积和体积公式的推导及结合率和分配率的使用。再将数学中的有限与无限从哲学的观点来体现，首先，本文讨论了数学中有限与无限的联系：无限是有限的基础，无限是由有限构成的；有限由无限组成；无限是有限的延伸。有限与无限虽密不可分，但它们也有质的区别。 其次，将会写到离了有限的超限数，如：就部分和整体来说，对于超限数，部分可以等于整体；就运算法则来说，超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的；就与现实的关系来说，超限数也是与有限数不同的。 【关键词】有限；无限；联系；区别；超限数 Finite and infinite in College Mathematics Wang lian xue 【Abstract】【Key words】Limited; unlimited; relation; difference; transfinite number 目录 前言 1 1. 例谈数式中有限与无限 2 §1.1 定积分 2 §1.2 数列极限的公式 2 §1.3 球表面积、体积公式的推导 2 §1.4 结合律和分配律的使用 3 2 无限与有限的联系 4 §2.1 无限是有限的基础 4 §2.2 无限是由有限构成的 4 §2.3 有限由无限组成 5 §2.4 无限是有限的延伸 6 §2.4.1 数学归纳法 6 §2.4.2无穷远点 7 3 有限与无限的区别 7 4 离了有限的超限数 8 §4.1 就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体 9 §4.2 就运算法则来说, 超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的 9 §4.3 就与现实的关系来说, 超限数也是与有限数不同的 9 5 小结 11 参考文献 12 前言 有这样一个故事,据说出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口。一天夜里已经很晚了,一个人走进一家旅馆想要住店。店主回答说:“对不起，我们没有任何空房间,但是让我看一下,或许我们能为您找到一个房间。” 然后店主离开了他的桌子,他不情愿地叫醒他的每位房客, 并且请他们换一换房间：1 号房间的房客搬到2 号房间,2 号房间的房客搬到3 号房间,……,依次类推,直到每位房客都从一个房间搬到下一个房间为止。令这位迟来者感到吃惊的是,1 号房间竟然被空出来。他很高兴地搬进去,然后安顿下来过夜。但是,一个百思不得其解的问题使他无法入睡： 为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间,第一个房间就空出来了呢？ 这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆,它是城里一个据认为有无数个房间的旅馆！ 这个故事说明了无限是作为有限的对立面而存在的,有限与无限有质的区别。贝尔指出,19 世纪的数学家已经认识到,“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论；没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析；没有数学分析,像现在大部分数学———包括几何和大部分应用数学———就不再存在了。”可见,无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础。 “自古以来,没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪,没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神。同时,也没有别的概念像它这样迫切需要澄清……” 例谈数式中有限与无限 §1.1 定积分 看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷． 从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数，直线，所围成的曲边梯形的面积。 步骤如下：将区间[a，b]分成n个小区间（1≦≦),每个区间上任取一点，以作为矩形的高，求出个矩形的面积并求和： = §1.2 数列极限的公式 数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则必须满足：若存在及存在，则存在，且= 例如：如何计算？ 按照有限的计算法则，==0，显然这个例题的结论是错的，所以不能用有限个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一