一般数列的求和方法新课标人教B版.docVIP

一般数列的求和方法 http://www.DearEDU.com 对于等差数列和等比数列而言，我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的前项和，而对于一般地数列我们可以从求等差数列和等比数列的前项和的方法受到启发，得到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，只要大家能够理解这些方法的适用范围，并且根据这些方法对新出现的数列都可以化为下面的形式，那么数列的求和问题就不会太难。现将这些方法总结如下： 一 公式法 对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前项和，在题目里我们可以直接利用它们。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例1 求的和。 解： 由等差数列的求和公式 得 二 分组结合法（裂项法） 若数列的通项公式为，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组结合法。 例 2 求数列的前项的和。 解：因为 所以 三 拆项相消法 若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。 例 3 ，求。 解：因为 所以 常见的拆项公式有： （1） （2） （3） （4） （5） 四 错位相减法 若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。 例4 求数列的前项的和。 解： 两式相减，得 所以 五 倒序相加法 如等差数列的前项和的求法就是采用这种办法，即先倒序书写这个数列，然后再把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前项和。 六 数学归纳法 在06年的高考题中，出现了求数列的通项公式，其中要先求出该数列前项和，然后根据其前项和来求其通项公式。在求前项和时没有用到前面我们所提到的几种方法，而是根据归纳猜想验证即数学归纳法来得到的。 例5 （06年全国高考理科22题） 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式。 解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝． 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝． (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　① 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝． 由①可得S3＝． 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1时已知结论成立． (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝， 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．　　 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1时，a1＝＝，所以 ｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…． 总之，只要我们在求和时观察数列各个项的特征，然后灵活运用上述的方法，我相信数列的求和问题就会迎刃而解。 1