小波分析教案 第1章.doc

小波分析及其应用 重庆大学 唐晓初 2001．3 第一章 信号的时间—频率分析 信号实际上是传递信息的某种具体物理过程，例如当人们交谈时，传递信息的语音信号就是空气振动这样一个物理过程。在信号分析和处理领域，信号被表示为时间或空间的函数。例如语音通过微音器之后转换为一个随时间变化的电压信号。最常用的信号分析方法是寻找一种简单有效的变换，使信号所包含的重要特征在变换域能更直接的显示出来。在小波变换兴起之前，傅里叶变换是信号分析最重要的数学方法。傅里叶变换实际上是将时间信号展开为不同频率正弦信号的线性迭加。从信号的傅里叶变换，能看出信号各种不同频率成份的强弱，信号能量在频率域的分布。傅里叶变换的核函数是正弦函数，它在时间域上是无限的，非局域的。而小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性迭加。小波变换的核函数是小波函数，它在时间域和频率域都是局域化的。这正是小波变换和传统傅里叶变换的本质区别。也正是因为小波变换在时间—频率域内都是局域化的，所以小波变换可对信号同时在时间—频率域内进行分析。 1.1傅里叶变换 首先，让我们回顾一下传统的傅立叶变换 （1.1） （1.2） 注意（1.1）式中对时间t的积分是在整个时间轴上，即为了获得信号中某一特定频率分量的信息，我们必须知道信号在整个时间过程中的变化情况。也就是说，它在时域内是非局域的。即使信号的持续时间是有限的，由于傅里叶变换的核函数在时域内是无限的，（1.1）式中也必须在信号的整个持续时间内积分，傅里叶分析也仍然是非局域的。从上述分析可以看到, 描述了信号的时域特征，而 描述了信号的频域特征。也就是说，要么在时域，要么在频域描述信号的特征。但在许多实际问题中，我们关心的却是信号在局部范围内的特征：例如音乐和语音信号中人们关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的音节；对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图像处理中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。尤其对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频率特性都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析都是不够的。由于傅里叶分析完成上述任务存在其故有的困难，这就需要所谓的时间—频率分析方法，亦称为时频分析方法。 由于傅里叶变换在时域内是非局域的，不太适宜于暂态的、非平稳信号的分析。针对暂态的、非平稳信号的分析，曾经出现过许多改进的办法，其中比较有成效的有Wigner—Ville分布和加窗傅里叶变换两种，前者是一种非线性二次型变换，与小波变换的概念相去甚远。而D.Gabor于1946年提出的加窗傅里叶变换在非平稳信号的分析中起过很好的的作用，而且与小波变换有很多相似之处。所以在学习小波变换之前，有必要了解一下加窗傅里叶变换。 2加窗傅里叶变换 传统的傅里叶变换是对信号在整个时间过程中变化情况的分析。它在时域内是全局化的、非局域的。其原因在于傅里叶变换的核函数正弦函数在时域内是无限的。显然，将正弦函数乘以一个时域内衰减很快的函数之后作为核函数是一种合理的改进方法,这种衰减很快的函数我们称为窗函数，以表示。一般来说，是一个实偶函数，且其能量主要集中在原点附近。例如均值为零的高斯函数，就是一个常用的窗函数。为了能实现对信号在整个时间过程中任意局部范围内变化情况的分析，应将窗函数应沿时间轴移动，得，其能量主要集中在附近。对任意一个能量有限信号，其加窗傅里叶变换定义为 （1.3） 式中是一个实偶函数，譬如说高斯函数，它的能量主要集中在原点附近。所以加窗傅里叶变换给出了信号在附近的频率信息。由上式可以看到，加窗傅里叶变换确实是传统傅里叶变换的一种改进，即核函数由改进为 （1.4） 另一方面，我们也可以把加窗傅里叶变换理解为信号乘以窗函数后得到的时间函数的傅里叶变换。由于窗函数的局域性，所以（1.3）式中的积分实质上只在附近的一段时间内进行。也就是说，加窗傅里叶变换给出了信号在附近的一段时间内的频率信息。现在我们可以看到，加窗傅里叶变换在时域内是局域化的。也正是由于这个性质，加窗傅里叶变换又称为短时（Short-time）傅里叶变换。 根据希尔伯特空间中内积的定义，加窗傅里叶变换也可以写成内积形式： （1.5） 应该注意，加窗傅里叶变换是频率和时间平移量的二元函数，所以信号的加窗傅里叶变