8.2 多元函数的概念.ppt

备用题 1 . 2. 证明 * * * n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 一个点, 当所有坐标 称该元素为 中的零元, 记作 O . 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 第二节 多元函数的概念 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 一.二元函数的定义 1.二元函数 设 是 平面上的一个平面 点集,如果对 中任意一点 按照某个确定的规则 变量 总有唯一的数值与点 对应, 则称变量 是变量 和变量 的二元函数. 自变量 因变量 定义域 记作: 2. 几 何 意 义 3.求定义域 例1 求函数 的定义域. 解 要使表达式有意义,只需 即 故定义域为 例2 求函数 的定义域. 解 要使表达式有意义,只需 即 故定义域为: 4.求函数值 例3 已知 求 、 、 解 例4 已知 ,求 解 法1 法2 设 则 故 故 5.判断函数相同 定义域 对应规则 6.齐次函数 一个多元函数,如果当每个变量都乘上 一个任意数 时,相当于该函数乘上 则称此函数为 次齐次函数. 即 定义 例如 注 若 是零次齐次函数 即 令 则 故 例如 二.二元函数的极限与连续 1.极限 设有二元函数 和常数 如果 当 无限趋近 时, 无限趋近常数 则称 极限存在 值为 记作: 或 注 (1)描述性定义. (2)极限存在与否和 无关. 分析: 无限接近于某常数 1.当 2.当 无限变小时, 可以任意小. 3. 要使 有多小, 当 就能有多小. 无限趋近 时, 小到一定程度时, 对任意给定的正数 (不论多么小), 总存在一个正数 当 时, 恒成立. 即 2.极限 设有二元函数 和常数 如果 则称 极限存在 值为 记作: 或 对任给 都存在 当 时, 总成立, 注 本定义为精确性定义. 例5 用定义证明 证 对任给 要使 只须 即可 取 故 3.极限不存在的讨论 方法:选两个路经,说明函数变化趋势不一样. 例6 已知 求当点 时的极限. 解 故极限不存在. 例7. 设 求证： 证: 故 总有 要证 例8. 设 求证： 证： 故 总有 要证 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. ? 二重极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如, 显然 与累次极限 但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 . 4.连续 (1)改变量 (2)连续 如果 或 则称函数 在点 连续. 否则称为间断. (3)性质 仿一元函数. 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: (证明略) 作业题 习题八(A) 1.(画出定义域图形) 1. 设 求 解法1 令