1.6.3 线性回归 典型例题.doc

1.6 线性回归 典型例题 产量与生产费用的线性回归 例 某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本，有如下资料： 产量（千件） 生产费用（千元） 40 150 42 140 48 160 55 170 65 150 产量（千件） 生产费用（千元） 79 162 88 185 100 165 120 190 140 185 完成下列要求： （1）计算与的相关系数； （2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （3）设回归直线方程为，求系数． 分析：（1）使用样本相关系数（即相关系数）计算公式： 即可完成此问： （2）查表行出显著性水平0.05与自由度10－2相应的相关系数临界值，通过比较与的大小，以检验所得结果，来说明与之间的线性相关是否显著． （3）此问解法与上两题相同． 解：（1）制表： 1 40 150 1600 22500 6000 2 42 140 1764 19600 5880 3 48 160 2304 25600 7680 4 55 170 3025 28900 9350 5 65 150 4225 22500 9750 6 79 162 6241 26244 12798 7 88 185 7744 34225 16280 8 100 165 10000 27225 16500 9 120 190 14400 36100 22800 10 140 185 19600 34225 25900 合计 777 1657 70903 277119 132929 即与的相关系数； （2）查表显著性水平0.05，自由度10－2＝8相应的相关系数临界值；因为，，所以，可以认为与之间具有线性相关关系． （3） 说明：如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到这些量，就无需有制表这一步，直接算出结果就行了制表的目的是为了准确无误而快速有效地得到和的值．顺便值得一提的是：电脑中的许多应用软件，特别是表格类软件是提供统计计算函数的，用起来非常方便． 产品产量与单位成本的线性回归分析 例 针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析： 月份 产量 （千件） 单位成本 （元/件） 1 2 73 4 146 2 3 72 9 216 3 4 71 16 284 4 3 73 9 219 5 4 69 16 276 6 5 68 25 340 合计 21 426 79 1481 分析：这是一个实际应用的回归分析问题，其实就是找出回归方程，通过回归直线方程来分析产品产量与单位成本的关系． 解：设回归直线方程为 ，所以代入公式，，故回归直线方程为： 由于回归系数为－1.82，由回归系数的意义可知：产量每增加1000件，单位成本下降1.82元． 说明：回归分析，说明与它们之间是一元线性回归关系．回归方程中的回归系数和，刻画了这与两个量之间的变化趋势，对它们所反映出的信息进行分析，就是回归分析． 对求和符号的理解 例 下列表达式中错误的是（ ） A． B． C． D． 分析：符号“” 表示若干个数相加，“”的下标，上标的含义是：将“”符号后的表达式中，含的部分分别取1，2，3，…，后所得式子依次加起来，即 解：分别计算ABCD知： 故只有D是错误的。 答案D 说明：符号“”的下标是起始数，上标是终止数。即时为最后一个式子。识别式子的最好办法就是将其式具体化写出来，“”的引人只是为了书写方便。理解和记住如下性质，有利于快速解题：若是常数，则 ① ② ③ 设备维修费用与使用年限的回归 例 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由次料知对呈线性相关关系． 试求：（1）线性回归方程的回归系数； （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 分析：因为对呈线性相关关系了，所以可以用一元线性相关的方法角决问题了． （1）利用公式：来计算回归系数．有时为了方便常制表对应出，以利于求和． （2）获得回归线方程后，取，即得所求． 解：（1）制表： 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 4 9 16 25 36 90 于是有 （2）回归直线方程是：当（年）时，（万元），即估计使用10年时维修费用是12.38万元． 说明：知道与呈线性相关关系，就无需进行相关性检验．否则，