选修4-5第二讲 《证明不等式的基本方法》四校周忍.doc

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 学员编号： 年 级： 课时数： 3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 命题及其关系、充分条件与必要条件 授课日期及时段 教学目的 理解、掌握综合分析法证明不等式的方法 理解掌握反证法放缩法证明不等式的方法 教学内容 一、课前检测 1 已知，求证： 分析 因所证不等式两端是同底的对数、单项式，故“作差比较”、“作商比较”均可以。 解 （作差比较） （1）当时，因，所以 （2）当时，因，所以 综合以上可知，所证不等式成立。 （作商比较） 因，所以，， 所以， 评注 本题虽是一道很简单的不等式证明题，也显示出了证明不等式的技巧性：合理选择方法，可以回避讨论. 2 设，且，证明 分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行等价转化. 证法一: 因，所以 ① 4 ② ③ 以上三式相加可得： 上述不等式都是在时取等号. 所以，当且仅当时原不等式取等号. 证法二: 原不等式等价于 由于对任意正数，有，下面证明更强的不等式： ④ 成立. 设， 则，且在上是严格递增函数，因为 只需证明即可. 其证明如下： 假设，则. 由，得，. 因， 所以 故原不等式成立. 等号当且仅当时成立. 评注 证法1利用均值不等式进行证明，显得简洁、清晰；证法2是将所证不等转化为更强的不等式，再进行证明. 3 已知，且，证明：成立的条件. 分析 因是关于的轮换对称式。 证明 设，又因， 则 . 不等式等号当且仅当或或时成立. 评注 对于“轮换对称式”，不能将其中的变量排序；有时只能找到一个最小字母作“弱”排序. 知识梳理 综合法 1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2．用综合法证明不等式的逻辑关系是： 3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 例 已知、、，，求证 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧． 证明：∵ ∴ ∵，同理：，。 ∴ 说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的． 分析法 1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2．用分析法证明不等式的逻辑关系是： 3．分析法的思维特点是：执果索因 4．分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有…… 这只需要证明命题为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 例 求证 证明：因为都是正数，所以为了证明 只需证明 展开得 即 因为成立，所以 成立 即证明了 说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真， 这只需要证明命题B1为真，从而有…… 这只需要证明命题B2为真，从而又有…… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 反证法 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是