山东省自学考试强化复变函数与积分变换实践习题及答案介绍.docx

山东大学高等教育自学考试强化实践能力培养考核《复变函数与积分变换》教学考试大纲一、课程性质及课程设置的目的和要求(一）课程的性质、地位与任务本课程是全国高等自学考试工科类各专业的一门重要的基础理论课，它包含复变函数与积分变换两部分内容。复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究対象及独特的处理方法。解析函数是复变函数研究的中心内容，留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。积分变换有时也称为运算微积，是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。本课程介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解某些积分方程，微分方程以及计算积分。通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。(二)课程的基本要求通过对本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识(对积分变换未作要求的专业考生可不学积分变换部分),切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，从而为学习后继课程奠定良好的基础。（三）本课程与有关课程的联系本课程与高等数学有密切的联系，如导数、积分、级数和微分方程等,要学好本课程，必须把高等数学中的有关知识掌握好，进行必要的复习。本课程是一门重要的基础课，它与工程力学、电工技术、电子技术和自动控制等课程的联系十分密切，因此在学习时。要切实掌握本课程的主要内容，这对以后的学习将会带来很大的帮助。二、课程内容和考核要求第一篇复变函数第一章复数(一）学习目的与要求本章的学习目的与要求是:深刻理解复数的概念;熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。本章的知识点中，重点是:复数的运算以及用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点是：复数的运算，复数方程表示曲线，不等式表示区域。(二）课程内容1.复数及其表示法1.1复数的概念1.2复数的表示法2.复数的运算及几何意义2.1复数的加法和减法2.2复数的乘法和除法2.3复数的方根2.4共轭复数及其运算性质3.平面点集和区域3.1点集概念3.2区域3.3简单曲线3.4单连通区域与多连通区域(三）考核知识点与考核要求1.复数的概念及其表示法，要求达到“领会”层次。(1)熟知并掌握复数的概念。(2)掌握复数的各种表示法。2.复数的运算及几何意义，要求达到“简单应用”层次。(1)熟悉与掌握复数的四则运算及开方运算。(2)掌握上述各种运算的几何意义。(3)会进行一些简单的运算。3.点集、区域和简单曲线，要求达到“领会”层次。(1)正确理解区域、简单曲线等概念。(2)掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1．熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义。2．理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。（五）作业题1.已知，求，。2.已知，，求及。3.设、是两个复数。求证：。4.证明：函数在原点不连续。5.证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，c是常数）第二章解析函数(一）学习目的与要求解析函数是复变函数的研究对象。本章总的要求是：深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件;掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法;记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。本章的知识点中，重点是：函数解析性的判别，掌握和运用柯西—黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点是：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。(二）课程内容1.复变函数1.1复变函数的概念1.2复变函数的极限和连续性2.解析函数的概念2.1复变函数的导数2.2解析函数的概念3.柯西—黎曼条件4.解析函数与调和函数的关系5.初等函数5.1指数函数5.2对数函数5.3幂函数5.4三角函数5.5反三角函数(三）考核知识点与考核要求1.复变函数的概念，要求达到“领会”层次。(1)正确理解复变函数以及映射的概念。(2)理解一个复变函数与一对二元实函数的关系。2.复变函数的极限和连续性，要求达到“识记”层次。3.复变函数的导数，要求达到“领会”层次。(1)理解复变函数的导数的定义。(2)掌握可导与连续的关系及求导方法。4.解析函数的概念，要求达到“