06年《线性代数与几何》(下)第1次课讲述.ppt

* 北京大学工学院 线性代数与几何（下） * 第四章 向量代数、平面与直线 (第21次课) * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） inner product, dot product, scalar product of vectors 来源：功 定义：两个向量α, β的数量积是一个实数，它是两个向量的 长度它们夹角θ = α, β余弦的乘积，记作(α, β) 或 α·β， 其中θ的取值范围为0到π。 向量的长度可以表示为： * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） 正交（直交）：(α, β) = 0，记作 按此定义零向量与任意的向量正交。 内积的基本性质： 对称性：(α, β)= (β,α) 齐次性：(kα, β)= k(α, β) 可加性：(α+γ, β)= (α, β) + (γ, β) （并不显然） 正定性：(α, α)≥0，当且仅当α=0时，等号成立。 Cauchy-Schwarz 不等式： * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） 。 仿射坐标系下的数量积，度量矩阵 在仿射坐标系{O; e1, e2, e3}，α=x1e1+x2e2+x3e3 , β= y1e1+y2e2+y3e3的数量积为 * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） 记基向量的数量积为 将它们写成矩阵形式有 ，容易看出aij=aji。 于是可得： * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） 例3.8， 3.9， 3.10， 3.11， 3.12 正交投影：给定一个不为零的向量β，将向量α与向量β放 到同一起点，从α的终点向β所在的直线作垂线，则α可分 为两部分： 称为α在β上的正交投影向量，称 为α在β上的正交投影，显然 * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） 由等式 (不用性质(3),定义可得) 。 （这一表达式中 是单位向量） 可得 * 第三节 向量的数量积（内积、标量积） 例题3.13：内积性质（3）的证明 例3.14 标准直角坐标系下的内积、 模、夹角、柯西-施瓦茨不等式 * 第21次课作业 P122-123: 13,14(2)(4),15 *