行进中的数学(第六课时)课程.ppt

希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远起出了几何学的范围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法。 希尔伯特在这方面的贡献具有划时代意义，因为他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。在对他的公理系统作出自然地划分之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性。如此组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 思考题： 1、第五公设的替代公设是什么？ 2、归谬法证明平行公设的基本思想是什么？ 3、概述高斯、波约和罗巴切夫斯基对非欧几何的贡献。 4、什么是非欧几何学？ 5、非欧几何中与欧氏几何中有哪些主要不同的结论？ 6、黎曼对几何发展有何贡献？ 7、有哪几种非欧几何模型？ 8、概述射影几何的发展历程？ 9、非欧几何有何重要意义？ 10、何谓爱尔朗根纲领？ 11、何谓现代公理化方法？ * 行进中的数学：张真义、毛燕林 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 行进中的数学：张真义、毛燕林 第二章：几何的发展 行进中的数学 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 非欧几何要获得普遍接受，还需要确实地建立自身的无矛盾性和现实意义。1854年，德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想，以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础，建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。 四、非欧几何的发展与确认 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，曲率可以为正常数、负常数、或恒为零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学。而第一种情形则是黎曼本人的创造。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。 Riemann 1826 - 1866 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 1854年,黎曼发表《关于几何基础的假设》的演讲： 将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广成任意空间的内蕴几何。他把 n 维空间称作一个流形， n 维流形中的一个点，可用n 个参数x1 , x2 , … , x n 的一组特定数值来表示，称作流形的坐标。 定义流形中的两点距离，假定这微小距离的平方是一个二次微分齐次 ds2 = ∑ ∑ n n i = 1 j = 1 （gij dxi dxj ） 其中gij 是坐标的 函数， x1 , x2 , … , x n gij= gji 上式右边总取正。 定义流形曲线长度及曲率： 常见三种曲率空间： （1）曲率为正常数；（黎曼几何空间） （2）曲率为负常数；（罗氏几何空间） （3）曲率恒等于零。（欧氏几何空间） * 行进中的数学：张真义、毛燕林 19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米基于内蕴几何观点，给出一个叫“伪球面”的曲面作为罗巴切夫斯基几何模型。随后，克莱因、庞加莱也各自对罗巴切夫斯基几何给出自己的欧几里得模型。他们的工作，揭示了非欧几何的现实意义，同时使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的理解和接受。 Beltrami 1835 - 1900 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 Klein, 1849 - 1925 Klein瓶 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 Poincare 庞加莱的罗氏几何模型 ∞ * 行进中的数学：张真义、毛燕林 荷兰画家M.C.Escher的数学绘画作品(1959)：圆的极限 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 越来越小 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧几里得几何变成了某种特例。实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义——三维、平直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧化”运动