数值分析2数值计算中的基本原则.ppt

数值计算中的基本原则 数值不稳定的算例 方程求根问题引例 二分算法及其应用 《数值分析》2 数值计算中的基本原则 (1)避免绝对值小的数做除数; (2)避免两相近数相减; (3)防止大数“吃”小数现象 a = 109，b = 9，设想在8位浮点数系中相加 a + b =1.0000000 ×109+ 0.000000009 ×109 由于只保留8位有效数，数据09被舍去,实际加法操作 a + b计算结果是 将 a 的数据作为计算结果赋值给 a+ b. 2/18 (4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数) 例 计算 P(x) = 1+2x+3x2+4x3 + 5x4 的值 P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x))) 一个应用: 2进制数转换为10进制数 (1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0 =238 3/18 求多项式值的秦九韶算法 P(x)=a0+ a1x + a2 x2 + ······ + an xn 4/18 例1 计算 ( n =0,1,···, 20 ) 5/18 初值： I0 = 1 – e –1 ≈0.63212055882856 n=20时，S20=-30.19239488558378 递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1) S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0; for n=2:20 S(n)=1-n*S(n-1) end 实际递推: Sn=1-nSn-1 |e(S0)|=|S0 –I0|10-15 有误！ 6/18 In=1 - nIn-1 Sn- In=- n(Sn-1 - In-1) e(Sn)= –ne(Sn-1)=······= (n!)(–1)ne(S0) 新算法: In-1 = (1 - In)/n S(30)=1/31 for n=30:-1:2 S(n-1)=(1-S(n))/n; end S0=1-S(1),S(1:21) 初值误差在算法执行过程中不断增大,这种算法称为数值不稳定算法。 7/18 Sn-In= –(Sn-1 - In-1)/n 在算法执行过程中,舍入误差对计算结果影响不大的一类算法被称为数值稳定算法;否则称为不稳定算法. 初始误差在算法执行过程中不断减小,这种算法称为数值稳定算法。 |e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)| =|S21-I21| /21 =·······=|S30-I30|/(21·22·23·····30) 8/18 例2.水中浮球问题 有一半径r =10 cm的球体,密度? =0.638.球体浸入水中后,浮出水面的高度h是多少？ 设球体浸入水中的深度 d .根据阿基米德定律, 物体排开水的质量就是水对物体的浮力。 整理得: d 3 – 3 r d 2 + 4 r 3? = 0 9/18 由? =0.638, r = 10.代入,得d 3 – 30 d 2 + 2552 = 0 令 f (x) = x 3 – 30 x 2 + 2552 ,函数图形如下所示 求解方程 f(x)=0, 即是求函数 f(x)的 零点. f(x) 的零点 所在区间为 [10，15] 10/18 第一步:对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根区间内确定一个解的近似值x0; 设f(x) = 0的根为 x*,通过迭代计算,产生序列: x0 ? x1 ? x2 ? ··· ? xn········· 用数值方法求非线性方程的根,分两步进行: 第二步:逐步逼近,利用解的近似值x0,或隔根区间通过迭代算法得到更精确的近似解. 11/18 例3.分期付款购一套30万元的住房. 方案是首付7万, 以后每月付1500元, 15年后付清.这种付款方式实际上是贷款购房,问这样贷款的利息是多少? 分析:设代款总额为A,每月付款P,银行利率为x,贷款年限为 y =m/12. 则有 A(1+x)m = P + P(1+x) + P(1+x)2 +···+ P(1+x)m-1 12/18 则 f(0.001)=2.4698e+005, f(0.002)=2.2655e+005 f(0.0015)= 2.3647e+005, f(0.00175)=2.3144e+005 x = 0.0018 (年利息约0.0218) 13/18 已知方程 f(x)=0有一隔根区间[a, b],且f(x)满足f(a)·f(b)0,