第二章群说课.ppt

信息安全数学基础 许春香 编著 第二章 群 第二章 群 2.1 群的定义（重要） 2.2 子群（掌握） 2.３ 同构和同态（重要） 2.４ 变换群与置换群（掌握） 2.1 群的定义 定义2.1.1　设G是一非空集合．如果在G上定义了一个代数运算，称为乘法，记为ab，而且这个运算满足下列条件，那么G称为一个群： 1）G对于乘法是封闭，即对于G中任意元素a，b，有ab?G； 2）对于G中任意元素a，b，c，有a(bc) = (ab)c； 3）在G中有一个元素e，对于G中任意元素a，有 ea = a； 4）对于G中任一元素a都存在G中的一个元素b，使 ba = e． 群的定义 群的定义可以简单的归结为带有运算的集合，在集合上的运算满足 1）封闭性； 2）结合性； 3）单位元； 4）逆元； 群的定义 例2.1.1 整数对于加法构成了整数加法群，由我们初等代数的知识知，任意两个整数相加仍然是整数（封闭性），且满足加法结合性，其单位元为0，即任意整数加0均为自身，任意整数a的逆元为-a 全体整数Z，全体实数R，全体复数C对于加法是群全体非零实数R*=R\{0}对于乘法是群 同样有非零有理数，非零复数对乘法也构成了群分别记作（Z，+），（Q，+）（R，+），（C，+）（Q*， · ）（R*， · ）（C*， · ）其中Q*表示非零有理数集， R*表示非零实数， C*非零复数 群的定义 关于群的几点说明： 群的定义有多种描述可以参考近世代数书籍，本定义2.1.1只给出了一种 定义中的“乘法”并不代表具体的乘法，而是抽象的乘法——代表一种代数运算 群的定义 例2.1.2　自然数集合 N＝{1，2，3，．．．} 对于通常的加法封闭且满足结合律，但不存在左单位元和左逆元，因此对于加法不是群．而只是半群 整数Z对乘法也只是半群，即只满足封闭性和结合性 群的定义 例2.1.3　集合{0，1}对于模2加法“?”（或称异或）是一个群．显然封闭性和结合律满足；这里的单位元e=0，因为 0 ? 0＝0，0 ? 1＝1； 每一个元素的左逆元就是它自己： 0 ? 0＝0，1 ? 1＝0． {0，1}对于?运算是加法群． 群的定义 例2.1.4　集合的元素不一定是数，我们举一个集合元素为二阶方阵的例子： 该集合对于矩阵的普通乘法是一个群，单位元是 群的定义 例2.1.5 考虑二阶矩阵集合， 其中a，b，c，d为整数， ， 则该集合对于普通矩阵乘法构成群： 1）封闭性：两个矩阵A和B相乘仍然是整数二阶矩阵，而且|AB|＝|A||B|=1； 2）结合律显然满足； 3）单位矩阵是单位元 ； 4）任意元素 的左逆元为 ． 实际上任意阶整数方阵当其行列式等于±1时对于矩阵的普通乘法都构成群。 集合元素可以是任意事物，其中的运算也可以是任意定义的． 群的定义 定义2.1.2　如果群中的运算满足交换律，则这个群称为交换群或阿贝尔（Abel）群 比如： （Z，+），（Q，+）（R，+），（C，+）， （Q*， · ）（R*， · ）（C*， · ）都是（Abel）群 群的基本性质 1）左逆元同时也是右逆元，即对于a，b?G，如果ba = e，则ab = e． 2）左单位元同时也是右单位元，即如果对于所有a?G有ea = a，则对于所有a?G也有ae = a ． 3）单位元是唯一的． 4）逆元是唯一的． 群的基本性质（证明） 证明　设G是一个群，e是G中的左单位元． 1） ? a?G，设其左逆元为b，即 ba = e； 又设b的左逆元为b’，即 b’b = e． 于是 (b’b)(ab) = e(ab) = (ea)b = ab； 但我们又有 (b’b)(ab)＝ b’[(ba)b] = b’(eb) = b’b = e， 所以我们得到 ab = e， 即b也是a的右逆元． 群的基本性质（证明） 证明　设G是一个群，e是G中的左单位元． 2） ? a?G，设其左（右）逆元为b．则 (ab)a = ea = a； 又 (ab)a = a(ba) = ae； 所以 ae = a， 故左单位元也是右单位元． 群的基本性质（证明） 证明　设G是一个群，e是G中的左单位元． 3）如果G中存在另一单位元e’，我们有 e = ee’ = e’， 则单位元是唯一的 群的基本性质（证明） 证明　设G是一个群，e是G中的左单位元． 4） ? a?G，设b，c都是a的逆元，则 b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c， 则每个元素的逆元是唯一的． 群的阶、元素的阶 定义2.1.3　如果一个群G中元素的个数是无限多个，则称G是无限群；如果G中的元素个数是有限多个，则称