线性系统第3讲.ppt

1. 与预解矩阵有关的一些关系式 三、一些重要的关系式 定理（Cayley-Hamilton)：令n阶矩阵A的特征多项式为 则如下矩阵方程成立： 证明：对于任何一个n×n的矩阵A，其预解矩阵可以写成下列形式 其中 (1-42)两边左乘(sI?A)△(s)，可得 比较上式两边s同次幂的系数(矩阵)有： 最后，比较零次幂系数有： 将(1-44)的倒数第一式代入上式，有 证完。 2. 利用（1-44）和（1-42）表达adj(sI?A) 和 eAt 其中 (1) adj(sI?A)的表达式： (2) eAt 的表达式： 由（1-45）可得 若对（1-47）进行拉氏反变换，且令 则可以得到矩阵指数eAt的一种表达式 3. 矩阵指数函数的算法： 3) 化为若当阵的算法： 这里，J 为若当阵： 为了得到以上结果，注意到 4. 矩阵指数函数的主要性质： 线性动态方程与等价动态方程 一、齐次方程解的性质 §1—3 线性动态方程与等价动态方程 考虑一般的线性微分方程： 的解的性质。 解的存在和唯一性 称 是微分方程(1-50)的一个解，系指： 推论：若 是微分方程 的一个解，且对某个t0，有 , 则 定理1—2 方程dx/dt=A(t)x 的所有解的集合，组成了实数域上的n 维向量空间。 证明： 方程所有解构成线性空间：任取dx/dt=A(t)x的两个解?1、 ?2，则对任意的实数?1和?2，有 (i=1，2，…，n) 是个n个线性无关的向量， 是在初 始条件 1)设 b)证明解空间的维数是n： 反证法。若不然，存在t? ?(??, +?)，使得 时方程 的解。要证明， cccc 是 (??, +?)上的线性无关的 n个解。 线性相关?必存在一个非零实向量? 使得 注意到?(t)?0 是齐次方程的一个解；而 也是齐次微分方程 满足初值 的一个解且由唯一性定理有 特别地，当t=t0时有 这意味着向量组 线性相关，矛盾！ 在 上线性无关。 2) 证明dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性组合 ，即解的集合组成了n维线性空间。 的任一解。e 显然可唯一地被 线性表出： 令 是方程dx/dt=A(t)x满足初始条件 容易验证， 是方程dx/dt=A(t)x满足初值条件 的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一个，故必有 证完。 由拉氏变换的卷积定理，可得 式中 是脉冲响应阵的拉氏变换，称为系统的传递函数阵。 七、传递函数阵和它的极点多项式 1. 传递函数阵：对以下时不变系统进行拉氏变换： 例：已知系统的脉冲响应矩阵 求所对应的传递函数阵。 解：直接对各元素进行 Laplace 变换得到： 正则与严格正则： 传递矩阵的零点和极点： 定义：一个有理传递矩阵G(s)称为是正则的，若 是一个非零的常量矩阵。G(s)称为是严格正则的，若 。 假设：G(s)是q×p 有理函数阵，且rankG(s)=r。 例：考虑如下几个传递函数阵： 定义1－5 G(s)所有不恒为零的各阶子式的首一最小公分母称为G(s)的极点多项式。极点多项式的根称为G(s)的极点。 例: 若 计算出G(s)的一阶子式的公分母为，(s+1)(s?1)(s+2) 而G(s)的三个二阶子式分别为（要写成既约形式！） 二阶子式的公分母为 。 因此G(s)的极点多项式为 G(s)有四个极点，为?1、 ?2、 ?2和+1。 定义1－6 G(s)的所有r 阶子式，在其分母取G(s)的极点多项式时，其分子多项式的首一最大公因式称为G(s)的零点多项式。零点多项式的根称为G(s)的零点。 其三个二阶子式在分母取成极点多项式时分别为 它们分子的最大公因式为（s?1），因此G(s)的零点多项式为（s?1）， G(s)有一个零点s=1。 例:若 例：考虑如下传递矩阵： 分别求它们的极点多项式。 G1(s)的四个一阶子式分别是： 其二阶子式恒为零。故其极点多项式是s+1。 G2(s)的四个一阶子式分别是： 其二阶子式为 故其极点多项式是(s+1)2。