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第八节 二次函数（文） 南昌十中 一、考纲要求/ 1、要掌握二次函数的概念、图像和性质。（解析式、顶点、对称轴、单调性、韦达定理等） 2能利用二次函数研究一元二次方程的根的分布；能求二次函数的区间最值。 二、知识要点归纳 1、二次函数的基本知识 图像 定义域 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 是偶函数 单调性 是减函数 是增函数 是增函数 是减函数 最值 当时， 当时， 2、二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 （1）（一般式） （2） (零点式) （3） (顶点式) 3、二次函数在区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数的图像求解，常见有三种类型： （1）顶点固定，区间也固定； （2）顶点含参数（即顶点为动点），区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间内，何时在区间外； 条件 图像 最小值 最大值 （3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。 4、 二次函数函数与二次方程根分布问题 （1）二次函数，当时，图像与轴有两个交点、，则。 （2）实系数二次方程，两根为，则 根的分布 图像 充要条件 方程有两个不等正根 有两不等负根 一正根一负根 有且仅有一个在内 或或 三、题型讲解 【例1】 已知函数的图像过点(1,3)，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称．求与的解析式． 思维点拨：由，且函数的图像关于直线对称先求，再由对称性求． 解：由题意知： 解得 ∴ 设函数图像上的任意一点关于原点的对称点为， 则. ∵点在的图像上，∴，∴， ∴. 变式1：已知二次函数满足，，且的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：解法一：利用二次函数一般式 ，设 由题意得 解之得 ∴所求二次函数为 解法二：利用二次函数顶点式 ，设 ∵，∴抛物线对称轴方程为 . ∴ ，又根据题意函数有最大值为∴ ∵，∴ ，解之得 ∴ 解法三：利用两根式 由已知，的两根为 故可设，即. 又函数有最大值，即 解之得或(舍)，∴所求函数解析式为 【例2】 已知函数，求在上的最值。 思维点拨：函数在定义域上的单调性取决于对称轴的位置，解答本题应根据与区间的相应位置分四种情况进行分类讨论求最值。 解： 其对称轴方程是，顶点坐标是，图像开口向下。 由知的对称轴在轴右侧， ∵， ∴①当 时，如图 ， ②当 时，如图 ， ③当 时，如图 ， ④当 时，如图在单调递增， ， 变式2：函数，在闭区间上的最小值记为。 ⑴试写出的函数表达式； ⑵作的图像并写出的最小值。 解：⑴ 当时， 在上是增函数， ∴ 当，即时，； 当，即时，在上是减函数， ∴ 从而 ⑵的图像如右图所示： ∴的最小值为。 【例3】 (1)方程的两根均大于1，则实数的取值范围是________． (2)方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是________． (3)方程的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数的取值范围是 ________． 思维点拨：利用根与系数的关系及判别式或利用二次函数图象特征解决． 解析：(1)方法一：利用根与系数的关系，设方程的两根为， 则 即 解之得. 方法二：利用二次函数图像的特征，设 则 解之得. (2)方法一：利用根与系数的关系，设方程的两根为， 则 解之得 方法二：利用二次函数图像的特征，设 则，解之得 (3)利用二次函数图像的特征，设, 则 解之得 . 答案：(1) 　(2) 　 (3) 变式3：设二次函数，方程的两根和满足 (1)求实数的取值范围； (2)试比较与 的大小，并说明理由． 解：解法一：(1)令 则由题意可得 即 故所求实数的取值范围是 (2) ，令. ∵当时，单调递增，∴当时， ， 即 . 解法二：(1)同解法一． (2)∵，则由(1)知， ∴ 又，于是 即，即， 故 四、课后练习 1、已知,若在R上恒成立,则的取值范围是( D ) （A） （B） （C） （D） 2、已知实数满足则的最大值是(B ) （A）15 （B）14 （C）11 （D）10 3、函数在区间上是增函数,则的范围是( A ) （