高二圆锥曲线期末复习.docVIP

圆锥曲线与方程复习 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，（这种说法不作要求）三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为P到定直线?的?，如图： 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 e 1时，点P轨迹是椭圆；当e 1时，点P轨迹是双曲线；当e 1时，点P轨迹是抛物线。 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆： P||PF1|+|PF2| 2a，2a |F1F2| 0，F1、F2为定点 ，双曲线 P|||PF1|-|PF2|| 2a，|F1F2| 2a 0，F1，F2为定点 。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。 定量： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距 2c —— 长轴长 2a —— —— 实轴长 —— 2a —— 短轴长 2b —— 通径长 2· 2p 离心率 1 基本量关系 a2 b2+c2 C2 a2+b2 —— （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）， 举焦点在x轴上的方程如下： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 （a b 0） （a 0，b 0） y2 2px（p 0） 顶 点 （±a，0） （0，±b） （±a，0） （0，0） 焦 点 （±c，0） （，0） 中 心 （0，0） 范 围 |x|≤a |y|≤b |x|≥a x≥0 焦半径 —— —— |PF| x0+ 总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。 二、常见结论： 1、（1）与双曲线共同的焦点的双曲线 （2）与双曲线 a 0,b 0 , 有共同渐近线的双曲线系方程为 a 0,b 0，λ≠0 , 当 λ 0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ 0 时,所求双曲线的焦点与已知的不在同一坐标轴上 （3）等轴双曲线的性质： 离心率为，渐近线方程为y ±x 等轴双曲线可以设为x2-y2 λ≠0 2、焦点弦的性质 焦点弦 过的焦点弦ＡＢ　，Ａ（，）Ｂ（，） （1）（2），， （3）以AB为直径的圆与准线相切 （4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为,通径是过焦点最短的弦.