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放缩法例题解析 （2008浙江）（22）（本题14分） 已知数列，，，．记．． 求证：当时， （Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）。 （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当时，因为是方程的正根，所以． ②假设当时，， 因为 ， 所以． 即当时，也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． （Ⅱ）证明：由，（）， 得． 因为，所以． 由及得， 所以． （Ⅲ）证明：由，得 所以， 于是， 故当时，， 又因为， 所以． （2006全国卷一）（22）、（本小题满分12分） 设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项； （Ⅱ）设，，证明： .解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2. 再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,… 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, … 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1) Tn= = × = ×( － ) 所以, = － ) = ×( － ) 21.在数列中,,且成等差数列,成等比数列. ⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明:. 解：（Ⅰ）由条件得 由此可得． 2分 猜测． 4分 用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即 ， 那么当n=k+1时， ． 所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知对一切正整数都成立． 7分 （Ⅱ）． n≥2时，由（Ⅰ）知． 9分 故 综上，原不等式成立． 12分 （2009四川）22. （本小题满分14分） 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列的通项公式； （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有； （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）当时， 又 数列成等比数列，其首项，公比是 ……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 = 又 当 当 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设 则 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设 则 当n为奇数时，设 则 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分 祝高二（2）班的每一位同学快乐成长，幸福生活，考上理想的大学，加油！！！