信息安全数学基础 第1章 整除.ppt

* * * * * 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 定义1 设a1,a2,…,an和m都是正整数, n≥2. 若ai|m, 1≤i≤n, 则称m是a1,a2,…,an的公倍数. 在a1,a2,…,an所有公倍数中最小的那一个, 称为a1,a2,…,an的最小公倍数, 记为lcm{a1,a2,…,an}(least common multipler)或者[a1,a2,…,an]. 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 m= [a1,a2,…,an]的数学表达式: (i) ai|m 1≤i≤n (ii) 若 ai|m’ , 1≤i≤n ,则m|m’ 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 定理4 设a,b是两个互素正整数,则 (i) 若a|m ,b|m 则ab|m (ii) [a,b]=ab 证明: 若a|m,有m=ak, 又b|m, 则b|ak, 又 (a,b)=1 因此b|k 从而 ab|ak=m (ii)ab显然是a和b的公倍数,又由(i)有ab是最小公倍数 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 n个整数的最小公倍数 定理6 设a1,...,an是n个整数,令 [a1,a2]=m2, [m2,a3]=m3,…, [mn-1,an]=mn 则[a1,...,an]=mn 例1 计算最小公倍数[120,150,210,35] [120,150]=120*150/(120,150)=600 [600,210]=4200 [4200,35]=4200 因此, [120,150,210,35]=4200 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 定理7 设a1,...,an是n个整数,且a1|m,...,an|m 则[a1,...,an]|m 用归纳法证明 不定方程 设a1, a2, ?, an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2, ?, xn的方程 a1x1 ? a2x2 ? ? ? anxn = b（1） 是n元一次不定方程。 定理1：设a，b，c是整数，方程 ax ? by = c (2) 有解的充分必要条件是(a,b)|c ,若有解(x0, y0)，则它的一切解具有 t?Z 其中, 不定方程 不定方程 不定方程 定理2 设a1, a2, ?, an, b是整数，再设 (a1, a2, ?, an ? 1) = dn ? 1，(a1, a2, ?, an) = dn，则(x1?, x2?, ?, xn?)是方程(1)的解的充分必要条件是存在整数t，使得(x1?, x2?, ?, xn?, t)是方程组 的解 不定方程 例1 求不定方程3x ? 6y = 15的解。 解 (3, 6) = 3?15，所以方程有解。 由欧几里得除法（或直接观察），可知x = ?1，y = 1是 3x ? 6y = 3 的解，所以x0 = ?5，y0 = 5是原方程的一个解。由定理1，所求方程的解是 不定方程 例2 求不定方程3x ? 6y ? 12z = 15的解。 解 原方程等价于 x ? 2y ? 4z = 5。 由定理2，依次解方程 t ? 4z = 5， x ? 2y = t， 分别得到 u?Z v?Z 不定方程 将两式中的t消去，得到： 1.5 素数,算术基本定理 1.5 素数,算术基本定理 1.5 素数,算术基本定理 1.5 素数,算术基本定理 例1 写出整数45,49,100,128的因素分解 45=3*3*5 49=7*7 100=2*2*5*5 128=2*2*2*2*2*2*2 当我们把相同的素数乘积写成幂的形式时: 45=32*5 49=72 100=22*52 128=27 1.5 素数,算术基本定理 例3 计算整数120,150,210,35的最大公因数和最小公倍数 解:因为120=23*3*5 150=2*3*52 210=2*3*5*7 35=5*7 由定理4 (120,150)=2*3*5=30 (30,210)=2*3*5 (30,35)=5 故, 120,150,210,35的最大公因数是5 1.5 素数,算术基本定理 例4 设a，b是两个正整数，则存在整数a’|a b’|b, 使得a’b’=[a,b] (a’,b’)=1 证