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比率估计为什么精确 By 左辰 @ 2009-06-01 09:33 常规引用方式左辰. 比率估计为什么精确. 统计之都, 2009.06. URL: /2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/.BibTeX引用 @ARTICLE , AUTHOR 左辰 , TITLE 比率估计为什么精确 , JOURNAL 统计之都 , YEAR 2009 , month 06 , URL /2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/ , 一、比率的方差估计式 比率估计量是抽样技术理论里一大重要估计量，其定义为两个总体总量或总体均值之比。借助适当的辅助变量，比率估计也可以得到主要变量的参数估计 由于通过辅助变量实质上引入了更多的信息，因此有理由猜测比率估计量可能更加精确。但是比率估计的方差和简单估计相比所谓的改进是否确切的存在，即使存在，改进的程度又有多大呢？ 记总体大小为，抽样大小为,抽样比例为,辅助变量的总体值为,样本值为：主要变量的总体值为,样本值为。教材上常见的一个估计式是： 据此，可以给出主要变量相应参数的估计方差。以总体总值为例： 注意到上式使用了而不是“＝”；也就是说是一个近似值。更确切地说，上式估计的只是一个方差下界，因为上式右端实质上是;而。可以看到，比率估计方差包括分子、分母两部分波动因素，而估计式中忽略了分母部分的波动，因此得到的方差估计是偏小的。 要使等号严格成立的条件是： 在有限总体的情况下，表示辅助变量恒为定值。注意：此时辅助变量已经没有意义了，因为它不能带来更多的信息，比率估计量与简单估计量的精度是完全相同的。 实际应用的时候，为了使方差估计式成立，我们也必须保证： 即样本均值总在附近波动，且波动范围很小。在这种情况下，辅助变量的意义也很小. 这就是矛盾的所在：比率估计量的方差估计严格成立的场合，也是比率估计量失去应用价值的时候。 二、一个模拟的例子 在样本均值波动比较大的时候，比率估计的方差究竟有多大的改进呢？对于这个问题，可以用统计模拟来实现。 我的例子如下：数据来源是人民大学版的《抽样技术》例题4.3，估计33个乡的粮食总产量，抽样得到10个乡粮食产量Y，耕地面积X，村的数量M。Y 22, 22.8, 30.2, 21.7, 24.3, 31.2, 26, 20.5, 33.8, 23.6 ，X 800, 780, 1000, 700, 880, 1100, 850, 800, 1200, 830 ，M＝ 15, 18, 26, 14, 20, 28, 21, 19, 31, 17 。 我们可以比较三种方法估计的理论方差：简单估计，以耕地面积作辅助变量的比率估计，以村数量作辅助变量的比率估计。因为总体数据未知，我首先以有放回的抽样模拟一个样本量为33的数据；然后枚举所有可能抽样组合，计算三种估计量。另一方面，对于每种抽样结果，我也采用方差估计式求方差估计值。最后可以将不同方差进行比较。考虑到计算量的问题，仅模拟了样本量为5的情形. 考虑到数据量大，在生成全组合时，采用了字典排序的算法， 可参见/stme/archive/2007/10/23/94361.html 模拟的均值估计结果为：三种方法均值估计为：844.90, 847.83, 844.93;方差为2678.20, 1156.89, 221.96;方差估计的期望为2678.20, 1111.19, 220.73。 这个结果有些出人意料：虽然采用方差估计式得到了低估的结果，但是低估的程度很低，甚至可以忽略不计。也就是说，即使在样本均值波动比较大的场合，比率方差估计的偏误并不大。 这就启示我们对方差估计式的含义重新思考。 三、方差估计式的另一种解释 比率估计量的偏误为： 如果假设每次抽样的残差都是一个与 独立的随机变量，则有： 由Jensen不等式，得到 这解释了方差确实存在低估的，而且低估的比例为。 采用之前模拟的例子计算这个比例，得到利用耕地面积作辅助变量的抽样方差为121356，但是方差的低估比例仅为1.0035。用此比例修正方差估计，结果为221.51,和真实值221.96几乎相同。 由此可见，即使在辅助变量波动较大，样本两较小，辅助变量抽样均值方差较大的情形，方差低估的比例也可能是很低的，所以采用方差估计式依然可以得到较好的结果。 四、题外话 这个问题给我们的启示：统计学归根结底离不开数学，定量的分析才能给予问题严格的解决。 关于定性和定量的话题，让我想到关于正态分布均值的T检验问题，有的统计学教材上刻意强调了这