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有代码功率谱估计Levinson递推法Burg递推法随机信号处理
功率谱估计
随机信号处理
学号:
姓名:
实验三 功率谱估计
1实验内容
信号为两个正弦信号加高斯白噪声,各正弦信号的信噪比均为10dB,长度为N,信号频率分别为和,初始相位,取,取不同数值:0.3,0.25。为采样频率。分别用Levinson递推法和Burg法进行功率谱估计,并分析改变数据长度、模型阶数对谱估计结果的影响。
2实验原理
2.1 Levinson递推法:
自相关法——列文森(Lenvison)递推法是已知信号观测数据,估计功率谱。它的出发点是选择AR模型参数使预测误差功率最小。
假设信号的数据区在范围,有P个预测系数,N个数据经过冲激响应为的滤波器,输出预测误差的长度为,因此有预测误差功率为
的长度长于数据的长度,上式中数据在以外补充零点,相当于对无穷长的信号加窗处理,会引入误差。
上式对系数的实部和虚部求微分使预测误差功率最小,得
(Yule-Walker方程)
式中自相关函数采用有偏自相关估计,即
Levinson-Durbin算法:使一种按阶次递推的算法。它以和模型参数作为初始条件,计算模型参数;再用模型参数计算模型参数,k阶模型参数由k-1阶模型参数计算得到。一直计算出模型参数为止。
一阶AR模型的Yule-Walker方程为
由该方程解出
然后令,以此类推,可以得到一般递推公式如下:
称为反射系数,。,随着阶数增加,预测误差功率将减少或不变。
由k=1开始递推,递推到k=p,依次得到各阶模型参数,
AR模型的各个系数及模型输入白噪声方差求出后,信号功率谱用下式计算
这种方法递推效率高,当阶数变化时,无需从头计算。但需要预先估计出信号自相关函数,当观测数据长度较短时,估计误差较大,会出现谱峰频率偏移和谱线分裂;如数据很长,估计自相关函数较准确。
2.2 Burg递推法:
Levinson-Durbin递推法需要由观测数据估计自相关函数,这是它的缺点。而伯格递推法则由信号观测数据直接计算AR模型参数。
伯格递推法利用Levinson-Durbin递推公式,导出前向预测误差与后向预测误差,并按照使它们最小的原则求出,从而实现不用估计自相关函数,直接用观测数据得出结果。
Burg递推法思想:借助格型预测误差滤波器,求前向、后向预测误差平均功率,选择使其最小,求出。之后,再利用Levinson-Durbin递推法求模型参数和输入噪声方差。
设信号的观测数据区间:,前向、后向预测误差功率分别用和表示,预测误差平均功率用表示,公式分别为
前向、后向观测误差公式分别为
上式中,信号项的自变量最大的是n,最小的是n-p,为了保证计算范围不超出给定的数据范围,在和计算公式中,选择求和范围为: 。
为求预测误差平均功率最小时的反射系数,令,将前、后向预测误差的递推公式代入得
Burg递推法求AR模型参数的递推公式总结:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
3实验结果及分析
3.1原始信号,观测信号
这里取,,,,。
3.2 Levenson递推法
3.2.1 取,,或,阶数不变,实验不同数据长度对功率谱估计的影响
信号长度
信号长度N=35,阶数M=20的功率谱估计
信号长度
信号长度N=145,阶数M=20的功率谱估计
信号长度
信号长度N=2000,阶数M=20的功率谱估计
分析:由以上三个实验对比,可以看出当观测数据长度较短时,估计误差较大,会出现谱峰频率偏移与谱线分裂;当数据很长时,估计自相关函数较准确,但计算量较大。
3.2.2取,,,信号长度不变,实验不同模型阶数对功率谱估计的影响
1)阶数M=2
2)阶数M=4
3)阶数M=8
4)阶数M=16
分析:由以上几个实验对比,可以看出当阶次较低,会使谱估计产生偏移,降低分辨率;当阶次越高,分辨率越高;当阶次太高,会使估计误差加大,谱峰分裂。
3.3 Burg递推法
3.3.1取,,或,阶数不变,实验不同数据长度对功率谱估计的影响
信号长度
信号长度N=35,阶数M=20的功率谱估计
信号长度
信号长度N=145,阶数M=20的功率谱估计
信号长度
信号长度N=2000,阶数M=20的功率谱估计
分析:由以上三个实验对比,可以看出当观测数据长度较短时,估计误差较大,会出现谱峰频率偏移与谱线分裂;当数据很长时,估计自相关函数较准确,但计算量较大。频率越靠近的谱估计,需要的阶数越高。
3.3.2 取,,,信号长度不变,实验不同模型阶数对功率谱估计的影响
阶数M=4
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