第23届全国中学生物理竞赛压轴题第一问的三种不同解法.docVIP

第23届全国中学生物理竞赛压轴题第一问的三种不同解法 浙江省上虞市春晖中学 金彪（312300） 原题：从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少．假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R 6400km．已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为 M为地球质量，G为引力常量． 1．假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向 用速度方向与从地心O到发射点C ． 2．若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少? 3．试导出…………………………… ⑴ ………⑵ …………⑶ 速度方向即椭圆切线方向垂直于∠OCO/ 的角平分线，则与NO夹角为67.50。 本解法为标准答案的解法，也是最佳解法，另外还有两种不同解法。 解法二：根据椭圆的极坐标方程解 以O为极点，OM为极轴正方向，建立椭圆极坐标方程。得椭圆方程： …………………………………⑷ 因为N、C两点在椭圆上， ………………………………⑸ ……………………⑹ 欲使c有解，Δ≥０，且取临界状态得 ………………⑺ …………………………………⑻ 因为2a必大于R，有 ………………………………⑼ 接下来的解法同解法一 解法三：根据椭圆的直角坐标系方程解 以O为坐标原点，OM为x轴正方向，建立直角坐标系。得椭圆方程： ……………………………⑽ N在椭圆上，且坐标为（），代入得 ……………………………⑾ 设椭圆中，得 ……………………………⑿ ………………⒀ ………………⒁ ………………⒂ 因为、b、c只能取正值 ……………………………⒃ 上式中cosθ只能取0到1之间 ……………………………⒄ 欲使cosθ有解，且取临界条件 ……………………………⒅ ……………………………⒆ 接下来解法同以上两种解法。 C N O M O/