高等数学(上册)教案19换元积分法.doc

第4章 不定积分 第二类换元积分法 【教学目的】： 理解第二类换元积分法； 掌握三角换元方法； 会用第二类换元积分法计算不定积分； 记忆新添加的几个常用积分公式。 【教学重点】： 三角换元法； 第二类换元积分法计算不定积分； 几个新的常用积分公式。 【教学难点】： 三角换元法； 几个新的常用积分公式。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 4.2.2第二类换元积分法 定理2（第二类换元积分法）设是可微函数，并有可微反函数，若则． 第二类换元积分法的解题步骤： ． （1）简单根式代换． 例14 求． 解 令，则 ． 将代入上式得 由以上例题可以看出，当被积函数中只含有的不定积分时，直接令，即作变换，可以推广到一般形式；当被积函数中既含有又含有时，令（为和的最小公倍数），如例14． （2）三角代换． 例15 求． 解 被积函数含有二次根式，利用三角关系式中平方关系，使其有理化． 令又，于是有 ． 代回变量，由画一个直角三角形，如图4-2所示： 由于是有 ． 被积函数中含有二次根式，，的不定积分这三种根式通常采用三角换元的方法可去掉根号： 含时，设；含时，设；含时，设，在代回变量时，可借助直角三角形． 例18 求． 解 显然没有基本积分公式可直接套用，凑微分也不能解决问题，10次方展开又比较麻烦，因此用换元法去解决． 设则原积分转化为 ． 在本节的例题中，有几个积分的类型是以后经常遇到的，它们通常也被当作公式使用，这样，常用的积分公式，除了基本积分表中的几个外，再添加下面几个（其中常数）： （13）； （14）； （15）；（16）； （17）； （18）； （19）；（20）； （21）． 在利用第二类换元积分法求积分时，新变量必须明显地引进，即“换元”和“回代”两个步骤不可省略． 【教学小节】： 通过本节的学习，掌握不定积分计算的第二类换元积分法，学会使用三角换元，并记忆几个新添加的常用积分公式。 【课后作业】： 能力训练 P113 1（6、10）、2（2、3） 图4-2