年南京大學考研数学三真题及答案.doc

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ()设是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若,则 (B) 若, 则 (C) 若,则 (D) 若,则 【答案】(D) 【解析】 数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以A与C正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B正确，D错,故选D (2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】() 【解析】不存在的点或的点处产生。所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点。所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 ,函数在上连续,则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B)【解析】 所以，选B。 (4) 下列级数中发散的是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；C，，根据莱布尼茨判别法知收敛， 发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C。 (5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为： ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】， ，故或，同时或。故选（D） (6) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】由，故.且 . 所以。选（A） (7) 若为任意两个随机事件,则: ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) . (8) 设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选(B) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】【解析】 (10)设函数连续，若则 【答案】【解析】连续，所以可导，所以； 因为，所以 又因为，所以 故 (11)若函数由方程确定，则 【答案】【解析】，时带入，得。 对求微分，得 把，，代入上式，得 所以 (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则 【答案】【解析】，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即 ，，所以，，故 (13)设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行列式 【答案】 【解析】的所有特征值为的所有特征值为 所以。 (14)设二维随机变量服从正态分布，则 【答案】 【解析】由题设知，，而且相互独立，从而 . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分分) .若与在时是等价无穷小，求的值