浅谈微积分化学的关系.doc

浅谈微积分与化学的关系 说到微积分与化学的关系，首先要从微积分的创造与发展说起。 微积分是微分和积分两门学问的统称，研究的范畴有三，包括微分、积分，以及微分和积分两者之间的关系。微分主要讨论一个变量怎样随时间（或其他变量）改变，而积分则主要讨论计算面积的方法。它们两者的关系由「微积分基本定理」（或称「牛顿－莱布尼茨公式」）给出：简单来说，这条定理说明，在适当的条件下，求积分是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。以下简称微积分的历史。 一微积分发展的 蒙芽时期　　　　 　　 　 早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。　　 例如公元前五世纪，希腊的德謨克利特（Democritus）提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是人类对早期的极限以及无穷等概念的原始认识。　　 　　其他关於无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论1：其中一个悖论说一个人永远都追不上一隻乌龟2，因為当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去，任何人都总追不上一隻最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开啟了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的歷史意味。　　　　另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在歷史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。　　　　二、十七世纪的大发展－－牛顿和莱布尼茨的贡献　　　　中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。在积分方面，一六一五年，开普勒（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认為一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。　　　　在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。费马（Fermat）在一封给罗贝瓦（Roberval）的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。另外，巴罗（Barrow）亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。　　　　然而，直至十七世纪中叶，人类仍然认為微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」连繫起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。　　　　微积分诞生以后，逐渐发挥出它非凡的威力，过去很多初等数学束手无策的问题，至此往往迎刃而解。例如，雅各布．伯努利（JakobBernoulli）用微积分的技巧，发现对数螺线经过各种适当的变换之后，仍然是对数螺线3。他的弟弟约翰．伯努利（JohnannBernoulli）在一六九六年提出一个「最速降线」问题︰「一质点受地心吸力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿著什麼曲线，时间最短？」这条问题后来促使了变分学诞生4。欧拉（Euler）的《引论》、《微分学》、《积分学》亦总结了自十七世纪微积分的全部成果。　　　　儘管如此，微积分的理论基础问题，仍然在当时的数学界引起很多争论5。牛顿的「无穷小量」，有时是零，有时又不是零，他的极限理论