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四川高中数学竞赛2013 篇一：2013四川高中数学竞赛试题及答案 2013年全国高中数学联合竞赛（四川初赛） 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、函数f?x?对于任意实数x满足：f?x?3???【】 1 ，若f(则f(0)?2，2013)fx? 11 A、?B、 C、2D、2013 22 2、设等差数列?an?与等比数列?bn?满足：0?a1?b1?a5?b5，则下述四个结论： a3?b3 ； a3?b3； a6?b6； a6?b6中正确的个数是【】 A、0个B、1个 C、2个D、3个 3、已知二面角??l??的平面角为?，PA??，PB??，A、B为垂足，PA=5，PB=4，设A、B到二面角的棱l的距离分别为x、y，当?变化时，点(x,y)的轨迹为下列图形中的 【】 A、 B、C、 D、 4、从[0,10]上任取一个数x，从[0,6]上任取一个数y，则使得|x?5|?|y?3|?4的概率是【】 1131 A、 B、 C、 D、 5324 5、当平面上的点(x,y)的坐标x、y都为有理数时，该点称为有理点，设r是给定的正 实数，则圆(x?1)2?(y2?r2上的有理点 【】 A、最多有一个 B、最多有两个C、最多有四个 D、可以有无穷多个6、△ABC中，?C?90，?B?30,AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM翻折，使A、B 两点间的距离为A?BCM的体积等于【】 A 、 2 B、 33 C D 、 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 3?x )?m，，记f(1)?f(2)?f(4)???f(1024 1?x 1111f()?f()?f()???f()?n，则m?n? 2481024 2342013 8、已知i是虚数单位， z?1?i?i?i?i??i，把复数z的共轭复数记为z，则z?z y22 ?1，则x2?y2的最大值是． 9、实数x,y满足x?1642 10、关于曲线C：x?y?1的下列命题： 7、已知函数f(x)? 曲线C关于原点对称； 曲线C关于直线y=x对称； 曲线C所围成的面积小于?； 曲线C所围成的面积大于?， 其中的真命题是．（写出所有真命题的编号） 11 11、设n是小于100的正整数，且满足(n2?1)?n为整数，则符合条件的所有正整数n的 35 和为． 12、已知函数f(x)? a ?x，对任意x?(0,1)，有f(x)?f(1?x)?1恒成立，则实数a的取x π2 值范围是． 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 2 13、设实数?? 0，已知函数f(x)?sin?x??x?sin(?x?)的最小正周期是 πππ ．求f(x)在[,]上的最大值与最小值． 284 x3?3x*14、已知函数f(x)?，数列满足：，{x}x?2x?f(x)(n?N)，记n1n?1n2 3x?1 xn?1?1 bn?log)(n?N*)． 3 xn?1?1 ( I ) 求证：数列{bn}成等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （II）记cn??nbn(n?N*)，求数列{cn}的前n项和公式Tn． x2 15、已知点B(0,1)，P、Q为椭圆+y2=1上异于点B的任意两点，且BP?BQ． 4 （I）若点B在线段PQ上的射影为点M，求M的轨迹方程； （II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围． 16、若实数x0满足f(x0)?x0，则称x?x0为f(x)的不动点．已知函数 f(x)?x3?ax2?bx?3，其中a,b为常数． （Ｉ）若a?0，求函数f(x)的单调递增区间； （II）若a?0时，存在一个实数x0，使得x?x0既是f(x)的不动点，又是f(x)的极值 点．求实数b的值； （III）求证：不存在实数组(a,b)，使得f(x)互异的两个极值点皆为不动点． 2013年全国高中数学联赛（四川）初赛试题 参考答案及评分标准 说明： 1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 91 10、 11、635 12、{a|a?1或a??44 三、解答题（本大题共