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高中数学基本题型 篇一：高中数学数列基本题型及解法 高中数学数列基本题型及解法 1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an/an?1)为同一常数。 (2)通项公式法： ①若 ②若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则?an?为等差数列； ，则?an?为等比数列。 (3)中项公式法：验证中项公式成立。 2. 在等差数列?an?中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当a10,dlt;0时，满足??am?0的项数m使得Sm取最大值. ?am?1?0 取最小值。 ?am?0(2)当a1lt;0,d0时，满足?的项数m使得a?0?m?1 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 1．证明数列?an?是等差或等比数列常用定义，即通过证明an?1?an?an?an?1 或an?1a?n而得。 anan?1 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3．注意sn与an之间关系的转化。如： nn?1?S1?0 ， an=a1??(ak?ak?1)． an=?S?S?0n?2k?2n?1?n 四、例题解析 例2．已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2, ⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cn?),a1?1， ⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。 探索解题的途径． an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列； n2分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn?1=4an+2，可由Sn?2-Sn?1作切入点 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn?1?4an?2得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 例3．设数列{an}的前项的和Sn= 例4、设a1=1,a2=1（an-1） (n?N+),（1）求a1;a2;(2)求证数列{an}为等比数列。 3552,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列333 {nan}的前n项的和Sn。 *例6．数列?an?中，a1?8,a4?2且满足an?2?2an?1?an n?N ⑴求数列?an?的通项公式； ⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn； 1(n?N*),Tn?b1?b2???bn(n?N*)，是否存在最大的整数m，使得对任n(12?an) m意n?N*，均有Tn?成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 32⑶设bn= 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。. 常用方法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，? 4916,3,4,? 51017 212,,,? （3）1,325 1234,?,? （4）,?,2345（2）1,2 观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法 例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， (1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 12 当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，?求此数列的一个通项。 一般地，对于型如an?1?an?f(n)类的通项公式，只要f(1)?f(2)???f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。 四、叠乘法 例4：在数列｛an｝中，a1 =1,(n+1)·an?1=n·an，求an的表达式。 一般地，对于型如an?1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)?f(2)??f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。 五、公式法 若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式 ?Sn??