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高中数学奥赛,教材,推荐 篇一：高中数学奥赛辅导教材(共十讲)精品 第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技能 高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合. 在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述(转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:高中数学奥赛,教材,推荐)法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 赛题精讲 Ⅰ．集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例. 例1：求点集{(x,y)|lg(x? 3 13 y? 3 19 )?lgx?lgy}中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知x?0,y?0,及x? 13 1919 3 13 y? 3 1913 ?xy, 19 由平均值不等式，有x? 3 y? 3 ?3(x)?( 3 y)?( 3 )?xy, 当且仅当x? 3 13 y? 3 19 ,即x? 3 ,y? 3 13 （虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素. 【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之. 例2：已知A?{y|y?x?4x?3,x?R},B?{y|y??x?2x?2,x?R}.求A?B. 【思路分析】先进一步确定集合A、B. 【略解】y?(x?2)?1?1,又y??(x?1)?3?3. ∴A={y|y??1},B?{y|y?3},故A?B?{y|?1?y?3}. 【评述】此题应避免如下错误解法： 2 2 2 2 联立方程组 ??y?x?4x?3,2 消去y,2x?2x?1?0. 因方程无实根，故A?B??. ?2 ??y??x?2x?2. 2 这里的错因是将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域. 例3：已知集合A?{(x,y)||x|?|y|?a,a?0},B?{(x,y)||xy|?1?|x|?|y|}. 若A?B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为 . 【思路分析】可作图，以数形结合法来解之. 【略解】点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）. 将|xy|?1?|x|?|y|，变形为(|x|?1)(|y|?1)?0, 所以，集合B是由四条直线x??1,y??1构成. 欲使A?B为正八边形的顶点所构成，只有a?2或1?a?2这两种情况. （1）当a?2时，由于正八形的边长只能为2，显然有2a?22?2, 故 a?2? 2. （2）当1?a?2时，设正八形边长为l，则 lcos45?? 2?l2l2,l?2? 2. 2或 2, 2,0). 2?2, 这时，a?1? 综上所述，a的值为2? 图Ⅰ－1－1－1 如图Ⅰ－1－1－1中A(2,0),B(2? 【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法. Ⅱ．集合之间的基本关系 充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例. 例4：设集合A?{ n2 |n?Z},B?{n|n?Z},C?{n? 12 |n?Z},D?{ n3?16 |n?Z},则 在下列关系中，成立的是 （ ） B．A?B??, C?D?? A．A?B?C?D ? ? ? C．A?B?C,C?D ? D．A?B?B,C?D?? 12? 2n?1n12n?1 ,??,n?Z. 2366 12 |n?Z},D?{ n3?16 |n?Z}, 【思路分析】应注意数的特征，即n?【解法1】∵A?{ n2 |n?Z},B?{n|n?Z},C?{n? ∴A?B?C,C?D.故应选C. ? 【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令 A??{ n?2 |n?Z},B??{n?|n?Z},C??{n?? ? 2 |n?Z},D?{ n?3 ? ? 6 |n?Z}. 结论仍然不变，显然A