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第四章 数学史融入中学数学教育的教学案例设计 4.1课题：复数概念 教学过程如下： (1)提出问题。 让学生解方程： 学生发现方程的根的判别式。方程在实数范围内不能求解。 教师：如果将数扩展到更大的范围，方程解的情况如何？ （2）介绍数的概念的发展 数的概念是从实践中产生发展起来的。最早期是建立了自然数的概念，随着生产力的发展，数的概念也得到发展。为了能够表示相反数的概念，人们引进了零和复数，即将正整数、零、负整数构成整数集Z。为了解决分量的问题，规定了一切形如的数，就把整数扩大为有理数Q。量与量之间的比值不能用有理数解决的，人们又引入了无理数。从解方程，发现方程没有实数解，因为负数不能被开放，所以人们又提出了一种新数——虚数。 (3) 得出复数的概念 形如的数被称为复数。时，就是实数；时，就叫做虚数，当时，叫做纯虚数；与分别叫做负数的实部与虚部。 教师：对于复数概念，其几何意义是什么呢？1797年挪威的测量员威赛尔，在1797年的一篇文章中，除了以1为单位的实轴外，还引进一根以为单位的虚轴，将复数用始点在原点的一条有向线段来表示（如图） y b O 1 a x 课题：求球的体积 教学过程如下： 提出问题：已知一个球的半径为R，求这个球的体积。 解答问题，刘徽、祖恒的截面法 刘徽在《九章算术》中给出了球体积公式(是求的直径)是错误的，刘徽分析，园与外切正方形的面积比为（取），如果认为球与其外切圆柱的体积之比是，并取，就可以得到上面所说球体体积公式，然而事实上结果的比值不是。 刘徽作出球的两个互相垂直相交的外切圆柱，称他们的公共部分为“牟合方盖”。“牟合方盖”恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切，如果用一个水平面去截它们，就得到一个圆（球的截面），和它的外切正方形（“牟合方盖”的截面）。刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的积之比都等于，因此球体积与它的牟合方盖的体积比都是，遗憾的是，刘徽未能求出牟合方盖的体积。 南北朝数学家祖恒提出一条“缘幂势既同，则积不容异”的原理，并利这一原理求得“牟合方盖”的体积，从而在刘徽的基础上彻底解决了球体积问题。 祖恒的做法是：作几何体（如图），在棱长为球半径R的立方体内挖去牟合方盖，做几何图（如图），倒立的直四棱锥(阳马)，使其高为,底面时边长为的正方形，这个倒立的直角、四棱锥的体积是棱长为 的正方体的，则其体积是。于是“牟合方盖”的八分之一的体积应是，整个“牟合方盖”体积为。在倒立的直四棱锥高度为处作截面，则“牟合方盖”截面的正方形边长为,于是立方体内的“牟合方盖”外部分的体积为。倒立的直三棱锥在高度处作截面，面积也是。 两个几何体在任一高度处的截面积相等，由祖恒原理，它们的体积相同。 于是 所以， 其它解法 阿基米德利用力学原理创造了一种特殊的求积术——平衡法，他的方法是：设球的半径为，作球的大圆面以及圆柱、圆锥的轴截面。其中以为两条母线的圆柱与球外切，是圆柱的两底面圆心，圆锥的母线分别经过圆柱相应母线与球的切点。 延长到，在与距离为处分别割出球、圆柱、圆锥的厚度为的三个薄片（可看成近似的圆柱体）。他们的体积分别是 K 球薄片： C D 圆柱薄片： N O 圆锥薄片： A B L 将球薄片与圆锥薄片悬挂在点处，圆柱薄片仍留在原处，以为支点考虑两边的力矩（不妨设想比重为1） 左力矩= 右力矩= 因此，左力矩=右力矩，于是 第四章 数学史融入中学数学教育的教学案例设计 - 27 -