第七章匹配色数问题及其它.ppt

第七章 匹配理论和色数问题 §1 最大匹配 §2 Hall定理 §3 匈牙利算法及例 §4 最佳匹配 §5 最佳匹配算法及例 §6 色数问题 §1 最大匹配 匹配是图论中一个重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题”有重要应用。 §1 最大匹配－1 具体问题描述： 有n个女士和n个男士参加舞会，每位女士与其中若干位男士相识，每位男士与其中若干位女士相识，问如何安排，使得尽量多配对的男女舞伴相识。 §1 最大匹配－1 下图就是一种分配方法： §1 最大匹配－定义 定义：若图G=(V,E)的顶点可以分成X，Y两个子集，每个子集里的顶点互不相邻，这样的图称为二分图。 §1 最大匹配－定义1 定义：若M是图G=(V,E)的边子集，且M中的任意两条边在G中不相邻，则称M为G中的一个匹配，M中的每条边的两个端点称为在M中是配对的。 §1 最大匹配－定义2 定义：若图G中每个顶点均被M许配时，称M为G中的一个完备匹配。 §1 最大匹配－定义3 定义：图G中边数最多的匹配M，称为G中的一个最大匹配。 §1 最大匹配－定义4 定义：若匹配M的某边和顶点v关联，称v是M-饱和的，否则就是M-不饱和的。 §1 最大匹配－定义5 定义：若M是图G的一个匹配，若从G中一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路径由属于M和不属于M的边交替出现组成的，则称此路径为交互道。 §1 最大匹配－定义6 定义：若交互道的两个端点为关于M的不饱和顶点时，称此交互道为可增广道路。 §1 最大匹配－定义8 §1 最大匹配－1 具体问题描述： 有n个女士和n个男士参加舞会，每位女士与其中若干位男士相识，每位男士与其中若干位女士相识，问如何安排，使得尽量多配对的男女舞伴相识。 §1 最大匹配－ Berge定理 定理7.1(Berge 1957)：M为最大匹配的充要条件是：图G中不存在可增广道路。 §1 最大匹配－定义7 对称差：A、B是两个集合， A B=(A∪B)-(A∩B) §2 Hall定理 设有m个人，n项工作，每个人会做其中的若干项工作，能不能适当安排，使得每个人都有工作做？ §2 Hall定理 当mn时，肯定是不可能的，即使是m≤n也不一定。但如果每个人能做的工作越多，越容易实现。 §2 Hall定理－1 Hall定理(1935)： 二分图G存在一匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X任一子集A，及与A邻接的点集为N(A)，恒有：|N(A)|≥|A|。 §3 匈牙利算法及例 1965年，匈牙利著名数学家Edmonds设计了一种求最大匹配的算法，称为匈牙利(Hungarian)算法。 §3 匈牙利算法 匈牙利(Hungarian)算法： （1）任给一个初始匹配； （2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2={}； （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2； （5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广；转（2）】 §3 匈牙利算法例 用匈牙利算法求下图的最大匹配： §3 匈牙利算法例解 （1）任给一个初始匹配； （2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； §3 匈牙利算法例解1 （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2={} （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2 §3 匈牙利算法例解2 （5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广；转（2）】 §3 匈牙利算法例解3 （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2； §3 匈牙利算法例解4 （5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广；转（2）】 §3 匈牙利算法例解5 （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2； §3 匈牙利算法例解6 （5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ∪{z} ， V2 =