《空间几何体的表面积与体积》新课程高中数学高三复习课件.ppt

* 第二节 空间几何体的表面积与体积 基础梳理 1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和. 2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积. 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 4. 柱、锥、台体的体积 这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成: 5. 球的体积及球的表面积 设球的半径为R, 典例分析 题型一 几何体的表面积问题 【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素. 解 如图所示,正三棱台ABC- 中,O、 分别为两底面中心,D、 分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高. 设 =20,AB=30,则OD=5 , = , 由 ,得 ∴ 在直角梯形 中, ∴棱台的高为4 cm. 学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素. 举一反三 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为 和 ，试求球的表面积. 解析：（1）当球心在两个截面同侧时，如图1所示. 设OD=x，由题意知 同理可得BD=20 cm. 设球半径为R，则依题意得： 即 解得x=15 cm, ∴R=25 cm.故 （2）当球心在两个截面之间时，如图2所示， 设OD=x cm，则OC=(9-x)cm. 由题意得 ∴CA=7 cm， 同理可得BD=20 cm. 设球半径为R, 则依题意知 即 此方程无正数解. 故此种情况不可能.综上可知,球的表面积为 【例2】直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积分别为 ,求它的侧面积. 分析 要求此棱柱的侧面积,只要求它的底面边长与高即可. 解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则 ,因过 的截面都为矩形, 从而 则 又∵AC⊥BD, 即 所以 学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少了运算量，简化了运算过程. 举一反三 2. 三棱柱 的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面△ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2α角,求三棱柱的侧面积. ∵AO⊥BC, ⊥BC,∴BC⊥平面 , ∴ ⊥BC,故 ⊥BC,又BC=2Rsin 2α, ∴ ∴ 解析：如图所示,作OD⊥AB于D,则AD=Rcos α,AB=2Rcos α,易知 ⊥AD，且∠ D=2α, ∴ ∴ 题型二 几何体的体积问题 【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它的侧面积和体积. 分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论. 解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则△PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PE⊥BC, E为侧面等腰梯形的高,作PO⊥底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE. 在△P 和△PBC中, ∴ , 为PB的中点, 为PE的中点. 在Rt△PEB中, 在Rt△POE中, 学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条