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电子科技大学2006年数学物理方法b卷答案
电子科技大学二零零 五 至二零零 六 学年第 一 学期期 末
数学物理方法 课程考试题( 分钟) 考试形式: B卷 考试日期 2006年 月 日
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷教师 填空(5*4= 20分)
1、定解问题的解为
2、确定下列本征值问题
的本征值=,本征函数
=
3、
4、已知 则;而函数按的展开式为。
一根杆由截面相同的两段连接而成,两段的材料不同,杨氏模量分别为,写出衔接条件。(10分)
解:设两段杆的接点为,在连接处位移是连续的,所以有,
在连接处两方的作用力为:
在圆域上求解泊松方程的边值问题(20分)
提示:先设法找到特解,再利用,把问题转化为的定解问题。
【解】 先设法找到泊松方程的一个特解.显然有,为对称起见,取.又因为,.这样,找到一个特解
令
就把问题转化为的定解问题.
在极坐标中用分离变量法求解拉普拉斯方程的一般结果为
并且在圆域内应当是有界的.但上式的和 当趋于零(圆心)时为无限大,所以应当排除,故.于是
把上式代入边界条件
比较两边系数得
这样,所求解为
四、用特征线法解(15分)
解:特征方程为
令,作特征变换,最后原来方程变为:
所以
利用初始条件得到
对(*)积分得到
所以
所以:
五、在上半平面内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 (20分)
提示:拉普拉斯第一边值问题解的公式;拉普拉斯方程的第一边值问题的解为
【解】 根据第一边值问题,构建的格林函数满足
分别在处放置于一个正和一个负的点电荷(或点源),
则可构建格林函数为
注意到边界外法线方向为负轴,故有
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式,并注意到拉普拉斯方程的自由项,则由
得
或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式
得到
六、已知勒让德多项式,将函数展开为勒让德多项式的形式。(10分)
解:令,则 (1分)
设,(偶函数) (1分)
(1分)
, (1分)
(1分)
七、利用特殊函数的有关性质,计算下列积分:
(5分)
解:方法一:
(2分)
(1分)
(1分)
(1分)
方法二:
由
(2分)
(1分)
(1分)
(1分)
学院 系别 姓名 学号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
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