2015年高中数学 1.3.1函数的最大（小）值同步讲练 新人教版必修1.doc

课题：1.3.1 函数的最大（小）值 精讲部分 学习目标展示 理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义； 会由函数的单调性及函数的图象求函数的最值； 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 衔接性知识 已知函数是增函数，则实数的取值范围是；是减函数，则实数的取值范围是 函数增区间为，减区间为 3. 画出函数的图象并写出函数的单调区间 解：，将的图象先向左平移个单位，然后再向上平移个单位就得到了的图象 由图象可知，在与上均递增，所 以单调增区间为和 基础知识工具箱 要点 定义 符号 最大值 设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么称是函数的最大值 最小值 设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，称是函数的最大值 函数的单调性与最值 如果函数在区间上单调递增，则函数，； 如果函数在区间上单调递减，则函数， 恒成立问题 恒成立；恒成立 二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数在区间上最值问题，有以下结论： ①若，则， ②若，则， 时可仿此讨论 典例精讲剖析 例1. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下： 房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 解：设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为.于是得 由已知，得，解得 所以当=25时取得最大值（元），此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元． 例2.已知函数 （1）判断的单调性，并证明；（2）求的最大值与最小值 解：（1），由在递减，可知在递减。证明如下： 设，则 由，得，，所以 即，从而在递减 （2）由（1）知，在递减 所以的最小值，的最大值 例3. 已知函数，若对任意，恒成立，试求实数的取值范围 解：对任意有恒成立对任意恒成立对任意恒成立，设，则 而，由的图象可知，在上是减函数 ∴当时，， 于是当且仅当时，函数f (x)＞0恒成立，即实数的取值范围为. 例4.已知函数 （1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值；（3）若，求的最小值；（4）若时，的最小值为，求的表达式 解：∵，对称轴， 的图象如图： （1）若，则在上递减，的最小值 为； （2）若，则在上递减，在上递减，所以的最小值 为； （3）若，则在上递增，的最小值为； （4）当即时，在上递减，的最小值为. 当时，在上递增，的最小值为. 当即时，则在上递减，在上递减，所以的最小值为， 从而的表达式为 精练部分 A类试题（普通班用） 1. 函数y＝(x≠2)的值域是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．{y|y∈R且y≠2} D．{y|y∈R且y≠3} [答案]　D [解析]　y＝＝＝3＋，由于≠0，∴y≠3，故选D.．知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))， (1)证明函数f(x)为增函数．(2)求f(x)的最小值． [解析]　将函数式化为：f(x)＝x＋＋2 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)． ∵x1＜x2，　∴x1－x2＜0， 又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在[2，＋∞)上是增函数． (2)当x＝2时，f(x)有最小值．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值． [解析]　由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值． ∵f(x)＝－x2＋|x|＝ 即f(x)＝ 作出其在[－1,2]上的图象如右图所示 由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞)． 由图象知：当x＝－或时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2．，对于函数，若定义域与值域均为,求的值 解：函数开口方向向上，顶点坐标是(1,1)，对称轴是的抛物线．因此，当时，是增函数． 当时，取最大值，故，即，解得或. ∵,∴ 5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) [解析]　(1)设月