2015年高中数学 1.3.2函数的奇偶性同步讲练 新人教版必修1.doc

课题：1.3.2函数的奇偶性 学习目标展示 使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性； 会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性； 以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性； 衔接性知识 画出下列函数的图象 （1） (2) （3） （4） (5) 2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？ 基础知识工具箱 要点 定义 符号 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数 若定义域关于原点对称，则是奇函数对任意都成立 偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数 若定义域关于原点对称，则是偶函数对任意都成立 奇函数性质 设是奇函数，则①②③图象关于原点对称，反之也成立.④若有定义，则 偶函数性质 设是偶函数，则①②③图象关于轴对称，反之也成立 奇偶性与单调性的关系 若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反 判断函数奇偶性的步骤 求定义域化简解析式计算结论 典例精讲剖析 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)；(2)；(3；(4)； (5) (7) （8） 解：（1）由已知，得，的定义域为 ，是奇函数 （2）的定义域为， ，是偶函数 （3）的定义域为， ，是偶函数 （4）的定义域为， ，，，且 为非奇非偶函数 （5）由，得，所以的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数 （6）由，的定义域为，定义域关于原点对称 ，，且 所以既然是奇函数也是偶函数 （7）的定义域为， ，是偶函数 （8）由得－1≤x≤1且x≠0， 定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f(x)＝＝， ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．的图象关于原点对称，且当时，.试求在上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 解：　∵函数的图象关于原点对称． ∴为奇函数，则， 设，则，∵时，， ∴ 于是有： 先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性 画出y轴左边的图象．如下图． 由图象可知 的单调递增区间是、∞)，单调递减区间是、． 例3. 如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值 解：设，则， ∵在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4， ∴， 又∵为奇函数，∴， ∴， 即在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4. 例4. (1)如图①是奇函数的部分图象，则＝ . (2)如图②是偶函数的部分图象，比较与的大小的结果为 ． 解：(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴＝(－2)×(－1)＝ 2 . (2)∵偶函数满足，∴． 精练部分 A类试题（普通班用） 1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝x3 B．y＝－x2＋1C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x| [答案]　C [解析]　由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C 若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝[答案] －1 [解析]　解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1. 解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，∴f(－1)＝f(1)， 即0＝2(1＋a)，∴a＝－1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝；(2)f(x)＝. [解析]　(1)f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)f(－x)＝≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式． [解析]　因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f(0)＝0，即b＝0. 又，所以＝，所以a＝1，所以f(x)＝．f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象． [解析]　设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2， ∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.即f(x)＝－2(x－1)2＋2. 当x0时，－x0， f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2， ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2(x＋1)2－2， 即f(x)＝， 其图象如图所示． 1．