2015年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 新人教A版必修1.doc

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计） 教学目标： 知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学重点： 重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 一、复习回础，新课引入： 高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 二、师生互动，新课讲解： 1、二分法： 上节（P88例1）课我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法． 我们知道，函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解． （1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5； （2）用计算器计算，因为，所以零点在区间内； （3）再取区间中点2.75，用计算器计算，因为，所以零点在区间内． （4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值． 本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）． 当精确度为0.01时，由于，所以，我们可将作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值． 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： 1）确定区间，验证，给定精确度； 2）求区间的中点； 3）计算； 4）判断：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）． 5）判断：区间长度是否达到精确度？即若，则得到零点近似值；否则重复2——5． 说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算． 例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）． 小结： 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点． 函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使的实数； 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点． 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)． 解　设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－10，f(3)＝20， ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.250， ∴2x02.5； 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.437 50，∴2.25x02.5； 再取2.25与2.5的平均数为2.375， f(2.375)＝－0.109 40， ∴2.375x02.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5， f(2.437 5)＝0.066 40. ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 50.1， ∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. 点评　对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步