专题2 解三角形 专题限时集训.docVIP

专题限时集训(二) 解三角形 [建议A、B组各用时：45分钟] [A组　高考达标] 一、选择题 1.(2016·杭州模拟?在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝(　　? A.－　　　　　　　 B. C.－ D. B　[由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0Bπ，故B＝，cos B＝.] 2.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，则的值为(　　? 【导学号 A.　　　B.　　　C.2　　　D.4 C　[由正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0. ∵sin A≠0，∴sin B－cos B＝0，∴tan B＝.又0＜B＜π，∴B＝. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c?2－3ac. 又b2＝ac，∴4b2＝(a＋c?2，解得＝2.故选C.] 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b?2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　? A.3 B. C. D.3 C　[∵c2＝(a－b?2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6， ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.] 4.(2016·绍兴质量调测?在△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为(　　? A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 D　[根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.] 5.如图2-1，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足.若DE＝2，则cos A＝(　　? 图2-1 A.　　　　　　 B. C. D. C　[∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故选C.] 二、填空题 6.(2016·嘉兴教学测试?已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为__________. 【导学号 6　[在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2(舍?，则cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.] 7.如图2-2，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝______m. 图2-2 10　[分析题意可知，设CD＝h，则AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10 m.] 8.(2016·宁波高考模拟?如图2-3，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围是__________. 图2-3 (6,4]　[在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝2.设∠ACD＝θ(30°θ90°?，则在△ADC中，由正弦定理得＝＝，则DA＋DC＝4[sin θ＋sin(120°－θ?]＝4＝4sin(θ＋30°?，而60°θ＋30°120°，4sin 60°DA＋DC≤4sin 90°，即6DA＋DC≤4.] 三、解答题 9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b sin B＝(2a＋c?sin A＋(2c＋a?sin C. (1?求B的大小； (2?若b＝，A＝，求△ABC的面积. [解]　(1?∵2bsin B＝(2a＋c?sin A＋(2c＋a?sin C. 由正弦定理得2b2＝(2a＋c?a＋(2c＋a?c， 1分 化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，2分 ∴cos B＝＝＝－. 4分 ∵0Bπ，∴B＝. 5分 (2?∵A＝，∴C＝π－－＝－， 6分 ∴sin C＝sin＝sin cos－cossin＝. 8分 由正弦定理得＝，9分 ∵b＝，B＝，∴c＝＝， 12分 ∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×××si