专题3 平面向量 专题限时集训.docVIP

专题限时集训(三)?平面向量 [建议A、B组各用时：45分钟] [A组　高考达标] 一、选择题 1.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4?，＝(1,3?，则＝(　　? A.(2,4?　　　　　　　　 B.(3,5? C.(1,1? D.(－1，－1? C　[＝＝－＝(2,4?－(1,3?＝(1,1?.] 2.(2016·绍兴第一次质量调研?已知单位向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　? A.－ B.－ C. D. C　[由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝|a－b|，得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1?，即a·b＝，cos〈a，b〉＝＝，故选C.] 3.已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　? A.30° B.45° C.60° D.120° A　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.] 4.(2016·台州质检?将＝(1,1?绕原点O逆时针方向旋转60°得到，则＝(　　? A. B. C. D. A　[由题意可得的横坐标x＝cos(60°＋45°?＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°?＝＝，则＝，故选A.] 5.△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋?，||＝||，则向量在方向上的投影等于(　　? 【导学号 A.－ B. C. D.3 C　[由＝(＋?可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以||＝||＝||.又因为||＝||＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且||＝，所以在方向上的投影为||·cos∠ABC＝×cos 30°＝，故选C.] 二、填空题 6.在如图3-1所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点?上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数?共线，则的值为________. 图3-1 　[设e1，e2为水平方向(向右?与竖直方向(向上?的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(x a＋y b?，∴e1－2e2＝2λ(x－y?e1＋λ(x－2y?e2，∴∴ 则的值为.] 7.已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________. 　[∵⊥，∴·＝0， ∴(λ＋?·＝0， 即(λ＋?·(－?＝λ·－λ2＋2－·＝0. ∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2， ∴(λ－1?×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.] 8.(2016·金丽衢联考?已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则·＝__________. －　[∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴·＝(－?·(－?＝·－·－·＋2＝1×1×cos 60°－×1×cos 30°－×1×cos 30°＋2＝－.] 三、解答题 9.设向量a＝(sin x，sin x?，b＝(cos x，sin x?，x∈. (1?若|a|＝|b|，求x的值； (2?设函数f(x?＝a·b，求f(x?的最大值. [解]　(1?由|a|2＝(sin x?2＋(sin x?2＝4sin2 x， |b|2＝(cos x?2＋(sin x?2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 4分 又x∈，从而sin x＝， 所以x＝. 6分 (2?f(x?＝a·b＝sin x·cos x＋sin2 x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， 12分 当x＝∈时，sin取最大值1. 所以f(x?的最大值为. 15分 10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求： (1?a和c的值； (2?cos(B－C?的值. [解]　(1?由·＝2得cacos B＝2. 1分 因为cos B＝，所以ac＝6. 2分 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13. 解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. 4分 因为ac，所以a＝3，c＝2. 6分 (2?在△ABC中，sin B＝＝＝，7分 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝. 8分 因为a＝bc，所以C为锐角，因此cos C＝＝＝. 12分 于是cos(B－C?＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝. 15分 [B组　名校冲刺] 一、选择题 1.已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ