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满分解答
满分解答(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以,.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.因此△PDM∽△QDN.
所以.所以,.
图2 图3 图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.此时.所以.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.此时.所以.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,.
在Rt△ABC中,.所以∠QPD=C.
.所以.
②如图6,当QC=QD时,由,可得.
所以QN=CN-CQ=(如图2所示).
此时.所以.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6
图5 图6
考点伸展如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解.
满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由,BO=CO,得PH=BH=2)、(1,)或(1,0).
考点伸展第(3)题的解题过程是这样的:设点M的坐标为(1,m).
在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.
①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.
此时点M的坐标为(1, 1).
②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得.
此时点M的坐标为(1,)或(1,).
③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.
当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).
图3 图4 图5
满分解答
(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.
所以点B的坐标为.
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B,.解得.
所以抛物线的解析式为.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.
当P在时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.
③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.
综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.
图2 图3
考点伸展
如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.
由,得抛物线的顶点为.
因此.所以∠DOA=30=0°.
满分解答
(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).
令,得.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.
如图1,在△AOB中,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.
因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.
此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.
我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中, 为定值,,.
如图5,当AP=AQ时,解方程,得.
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.
如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.
综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形
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