两点边值问题的有限差分法..doc

学 生 实 验 报 告 实验课程名称 偏微分方程 开课实验室 数统学院 学 院 数统 年级 2013 专业班 信计2班 学 生 姓 名 学 号 开 课 时 间 2015 至 2016 学年第 2 学期 总 成 绩 教师签名 数学与统计学院制 开课学院、实验室： 数统学院 2016年 月 日 实验项目 名 称 两点边值问题的有限差分法 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导教师 曾芳 成 绩 是 一．实验目的 通过该实验，要求学生掌握问题法并能通过计算机语言编程实现。 考虑如下的初值问题： 1) (2) 其中，，，，是给定常数。 将区间等分，设，网点。 1．在第三部分写出问题（1）和（2）的差分格式，并给出该格式的局部截断误差。 2．根据你写出的差分格式，编写一个有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。 3．给定参数，，，，问题(1)的精确解，其中将及带入方程(1)可得。分别取，用所编写的程序计算问题(1)和(2)。将数值解记为，，网点处精确解记为，。然后计算相应的误差，及收敛阶，将计算结果填入第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？ 4. 将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。 三．实验原理、方法（算法）、步骤 差分格式： =-1/h^2(-()+)+()/2h+= A, 局部阶段误差： (u)=O(h^2) 3.程序 clear all N=10; a=0;b=1; p=@(x) 1; r=@(x) 2; q=@(x) 3; alpha=0;beta=1; f=@(x) (4*x^2-2)*exp(x-1); h=(b-a)/N; H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1); % for i=1 H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h)); g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha; end for i=2:N-2 H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h)); H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h)); g(i)=2*h*f(a+i*h); end for i=N-1 H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h)); H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h))*beta; end u=H\g; u=[alpha;u;beta]; x=a:h:b; y=(x.^2).*exp(x-1); plot(x,u); hold on plot(x,y); y=y z=y-u 四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 Matlab 五．实验结果及实例分析 N 收敛阶 收敛阶 10 0…… 0…… 20 01.9341 01.4530 40 02.0001 02.0000 80 01.9993 02.0000 160 02.0000 02.0000 N越大 只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。 图示为：(绿线为解析解蓝线为计算解 N=10 N=20 N=40 N=80 N=160 教师签名 年 月 日