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1薛定谔--泊松迭代法首先我们借助一个平衡态的结构，引入薛定谔--泊松迭代法（Schr?dinger–Poisson solver）的概念。首先，描述一个两端口平衡态的器件模型分为三个部分：器件区（Device）及两个体区与器件的接触（Contact1及Contact2）。两个接触结构由费米能级（Fermi Level）描述，器件部分由哈密顿量（Hamiltonian，H）及电势（U）分布描述，如图1所示。图1平衡态器件模型下一步，我们需要确定体系适当的哈密顿量（Hamiltonian，H），来描述相对独立的不同器件。例如，器件的工作仅涉及抛物线能带近似的电子，我们就可以使用带入有效质量的哈密顿量，。这也是本文所有例子中将要用到的H。当然基本的推导过程可以同样用于更复杂的Hamiltonians。描述一个器件，本质就是求电子及电势的分布，这两个量又薛定谔方程（Schr?dinger Equation）及泊松方程（Poisson Equation）迭代求解，如图2所示。图2泊松方程与薛定谔方程迭代过程由薛定谔方程，我们有其中为薛定谔方程的本征波函数。由局部电荷分布及泊松方程，我们可以得到电势U(r)与电子浓度n(r)的关系。如果认为n型杂质ND(r)完全电离由平衡态的统计力学分布对于给定的其中，下面再对图2的过程做一个说明。确定了Hamiltonian及电势分布U之后，从薛定谔方程解出波函数，进而用统计规律求电子浓度，将电子浓度代入泊松方程，求得新的电势分布U。整个过程迭代进行，直到达到收敛条件。这就是我们下面求解的基本过程。为什么要进行迭代自洽求解的过程？这是由于对于半导体器件结构而言，我们研究的都是众多载流子的统计性质。在求解波函数进而求解载流子浓度分布的时候需要考虑到载流子分布造成的电势分布。对于多电子的复杂系统，通常采用的做法是单电子近似，如固体物理中计算能带结构就是建立在平均势场的单电子近似假设的前提下。而对于半导体中的一般复杂系统，我们是无法进行高效而准确的近似，或者直接求出解析解的。这就是为什么只有自洽（Self-consistent）的方法才能实现方程的求解。下面我们来看非平衡情况下的模型，如图3所示。图3非平衡态器件模型与平衡态的情况相比，两个Contact的费米能级和不再相等。与分别用来体现两个Contact对器件区的影响。用来描述散射过程的作用。在我们的讨论中，认为是满足量子弹道输运条件的，所以没有加入。相对应的迭代过程改为图3非平衡态迭代过程这里需要强调的是，不论是平衡还是非平衡的情况下，两端接触的影响，体现在薛定谔方程与泊松方程的具体形式与边界条件。事实上，两端接触的影响将是器件内部载流子分布的关键所在。下面我们要考虑的是具体如何求解薛定谔方程、具体以什么形式引入两个接触的影响以及如何从泊松方程解电势。2.有限差分法和算符离散化2.1空间离散化我们知道，对于一般化的电势，我们无法得到薛定谔方程的解析解，通常都是用数值方程求解。在我们这个问题中，为了便于求解薛定谔方程及引入边界条件，我们选择有限差分法，作为数值计算的方法。我们以一维的情况为例，介绍这样的处理的方法。将空间离散化，抽样的间隔为a，依不同的精度而定。用这些对应点（a, 2a, 3a, ……）上离散的波函数的值，表示连续的波函数，如图所示，其中a位网格宽度。这样波函数变为用列向量表示，。图4空间离散化2.2.算符离散化相对应的算符也需要做相应的离散化处理为矩阵。事实上我们可以利用离散点商的波函数值，用数值分析中的算法来估算算符作用在波函数上的结果，以哈密顿算符为例。在离散化的空间中，利用波函数的离散值，由数值分析算法，我们有对于每一个n上式都应当成立（暂时不考虑边界条件问题）。那么算符可认为一矩阵作用在一列向量上，算符矩阵如下形式即2.3.边界条件在离散算符中的体现不同的边界条件在离散化的算符矩阵中，可能表现为对矩阵特别值的修改。如一维第一类边界条件在离散空间中，边界条件体现为在我们上面用到的矩阵中，如果考虑边界条件，我们引入来帮助我们思考这个问题，则算符矩阵变为(N+2)*(N+2)的矩阵。而这里的零边界条件，就体现为删除列向量的第一个和最后一个值，同时删除H矩阵的第一行、第一列（对应）以及最后一行、最后一列（）。由于第0个也可以理解成不对H矩阵做任何修改。又如第二类边界条件在离散化的波函数里即那么即将H矩阵中的H1,1=，HN,N同理。同样的对矩阵做了这样一个修正之后就可以删除掉多余的第一行、第一列（对应）以及最后一行、最后一列（）。总体来说，效果就是将上面N*N的H矩阵对角元素修改成。再如周期性边界条件，那么即H矩阵中的事实上，对于我们这种有限差分法能够比较简单表示出的边界条件我们在这里基本都介绍了。2.4.求解薛定谔方程本征值及本征向量