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線性代數—Linear Algebra 東吳大學數學系 葉麗娜 第二章 解線性方程組 Solving Linear Equations 2.1 Vectors and Linear Equations 2.2 The Idea of Elimination 2.3 Elimination Using Matrices 2.4 Rules for Matrix Operations 2.5 Inverse Matrices 2.6 Elimination =Factorization : A=LU 2.7 Transposes and Permutations 2.1 Vectors and Linear Equations 解線性方程組 線性方程式： 所有方程式的未知數都只是一次數, 而且僅能乘上純數 例如: 3x + 2y = 11 方程組即有兩個以上的方程式, 例如: x - 2y = 1 3x + 2y = 11 對於方程組我們有兩種說明 列為主 -- 以二維為例, 每個方程式代表平面上的一條直線. 方程組的解就是直線的交點. 行為主 – 方程組的解視為行向量的線性組合. 2.1 Vectors and Linear Equations 線性方程組的解(直線的交點) 2.1 Vectors and Linear Equations 線性方程組的解(行向量的線性組合) 2.1 Vectors and Linear Equations 係數矩陣(coefficient matrix) 同樣可以把二維推展至高維度空間 2.1 Vectors and Linear Equations 以後說明利用矩陣消去法解Ax=b之下列情形： 利用(高斯)消去法使得A成為上三角矩陣U。 經過一序列的Eij矩陣(Elementary matrices)運算 Eij的反矩陣Eij-1 使得U回復為 A。 分解A為上三角矩陣U與下三角矩陣L之乘積A=LU。 假如A是可逆的，則消去法可完整的執行成功 也許需要列對調(row exchanges)之過程 2.1 Vectors and Linear Equations 有三個未知數的三個方程組 Figure2.3 : Row picture: Two planes meet at a line, three planes at a point 2.1 Vectors and Linear Equations 有三個未知數的三個方程式 要重視線性組合的觀念 2.1 Vectors and Linear Equations 線性方程組之矩陣形式(The matrix form) 2.1 Vectors and Linear Equations 矩陣方程式 Ax=b Multiplication by rows (dot product) “.” 表內積(dot product) Multiplication by columns (linear combination) Ax= x(column1) + y(column2) + z(column3) 2.1 Vectors and Linear Equations 單位矩陣(identity matrix) Ix=x 矩陣的符號表示 2.2 The idea of Elimination 考慮下面這種型態的方程組(上三角型態) x- 2y = 1 8y = 8 把一般方程組化成上面這種上三角(upper triangular)型態的方程組 2.2 The idea of Elimination 消去法(Elimination) x - 2y = 1 x - 2y = 1 3x +2y = 11 8y = 8 方程組的解是否會改變? 2.2 The idea of Elimination 左右兩邊的方程組有相同的交點 消去 x使得第二條直線成為水平線 2.2 The idea of Elimination 中軸數 (pivot, p) 進行消去法