届高考理科数学总复习第轮全国版课件：均值不等式.ppt

点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值. * * * * 解：因为x＞-1，所以x+1＞0. 设x+1=z＞0，则x=z-1. 把x=z-1代入函数式，得 当且仅当z=2，即x=1时上式取等号. 所以当x=1时，函数y有最小值9，无最大值. * 题型2 求函数或代数式的最值 2. 设x＞-1，求函数 的最值. 点评：这是一类应用均值不等式求分式型函数的值域的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解. * 设x≥0,y≥0, ,则 的 最大值为______. 解法1：因为x≥0,y≥0, ， 所以 当且仅当 (即 )时, 取得最大值 * 解法2：令 则 当2cos2θ=1+2sin2θ,即 , 即 时， 取得最大值 . * 3. 若对任意正实数x、y,不等式 恒成立，则a的最小值是 . 解：若不等式恒成立,则 恒成立. 所以 因为 所以 当且仅当x=y时取等号. 所以a≥ ，故amin= . * 题型3 用均值不等式求 解不等式中 的恒成立问题 点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜想a的值. * (2010·山东卷)若对任意x0， ≤a恒成立，则a的取值范围是_______________． * 解：因为 对任意x0 恒成立，设u=x+ +3，所以只需a≥ 恒成立即可． 因为x0，所以u≥5(当且仅当x=1时取等号)． 由u≥5知0 ≤ ， 故a≥ . * 已知a、b、c∈R,求证： 证明：因为 所以 同理, 三式相加得 * 1. 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能. 2. a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而 成立，则要求a＞0且b＞0.使用时，要明确定理成立的前提条件. 3. 均值不等式有a2+b2≥2ab， a+b≥ 等形式，解题时要根据问题特点适当选用. * 立足教育 开创未来 · 高中总复习（第一轮）· 理科数学 · 全国版 * 第六章 不等式 第 讲 * 考点 搜索 ●利用基本不等式证明不等式 ●运用重要不等式求最值 ●重要不等式在实际问题中的应用 高考 猜想 在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现. 一、算术平均数与几何平均数定理 1.若a＞0，b＞0，则称_______为两个正数的算术平均数，称_______为两个正数的几何平均数. 2.如果a、b为实数，那么a2+b2≥2abab≤_______，当且仅当a=b时取“=”号. 3.如果a、b为正实数，那么 ≤_______，当且仅当a=b时取等号. * 如果a+b为定值P,那么ab有最____值，为____;如果ab为定值S,那么a+b有最___值,为____.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_____、_____、 _______. 二、不等式恒成立问题 不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在 _______________，不等式a≤f(x)恒成