《论求解二元函数偏导数.doc

论求解二元函数偏导数 在研究一元函数时，我们从研究数的变化率引入了导数的概念。对于多元函数我们同样要研究其变化率。为了研究多元函数的变化率我们又引入了新的研究方法：求偏导。下面我们来讨论二元函数在某点处求偏导的基本方法和简便方法。 一般二元显函数求解方法。 例1：求函数 z=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数。 解：把y看成常量。得： =2x+3y 把x看作常量得：=3x+2y 将（1，2）代入上面的结果，就得：=2*1+3*2=8 =3*1+2*2=7 对于这种比较简单的函数我们只要把一个未知数看成常量，然后按照一元函数的求导法则和求导公式就可以很轻松的求出。但有的函数用一般的方法却很难求出。 例如2：f(x,y)= x2+(y-1)arcsin,求f’x(2,1) 如果该题运用例一的方法，将比较复杂，可采用下面的简便方法。 g(x)=f(x,1)= x2 f’x(2,1)=g’(2)=4 该种方法即：将可以看成常量的变量的坐标代入原函数，再求导。 其本质还是例1的方法但却大大减少了计算量。 小结（1）：求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可。 先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b)。 若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做。 复合具体函数的导数求解 基本法则：=+ =+ 其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。 例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）； 法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数. 则：=+ =xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y) =y(x+y)xy[+ln(x+y)] f’x(x,y)= y(x+y)xy[+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)xy[+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 在做题的时候请同学们注意轮换对称性这样可以节省一半的计算量。 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y) 上式两边求导得： =y[ln(x+y)+ ] 从而：=z y[ln(x+y)+ ] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求+在（1，1）处的值。 dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得： dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得： +=2e(sin2+cos2). 注意：利用全微分解题思路清晰，不易出错。是一种比较好的方法。 小结（2）：多元复合函数求导应注意以下几点： 搞清函数的复合关系，求导前明确哪些变量是自变量，哪些是中间变量。 求导时注意是哪个函数对哪个变量求导。 对某个自变量求偏导时，应注意必须经过所有的中间变量归结到自变量。 复合抽象二元函数求导的方法 例：设：f可微，且w=f(x,xy,xyz),求：,,. 这里有三个中间变量，三个自变量的函数，令：u=xy,v=xyz.则：=++ 即：=+y+yz 同理：=x+xz =xy 注：题中和的区别。 右边的是在函数f(x,xy,xyz)中把u,v看作常量时，对x求偏导。而左边的是函数w=f(x,xy,xyz)中把y,z看作常量，对x求偏导。二者意义区别很大。 但归根结底它的本质仍是二元复合函数的求导。只要我们