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立体几何中的最值解题策略 湖南省张家界市武陵源一中 高飞 颜建红 电 邮编：427400 立体几何中的最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求立体几何中多种形式的最值问题的求解策略 折线段的最值问题 经常通过图形的变换，如平移，旋转，展开，对称等方法，把立体图形化为平面问题来解决 二面角的平面角为在平面内，AB于B，AB=2；在平面内，CD于D，CD=3，BD=1，M是棱上的一个动点，求AM+CM的最小值 分析:通过展开把立体图形化为平面问题来解决 解：将二面角展开成平面，将AM+CM转化为平面上距离，则AM+CM的最小值为AC，AC 2，在单位正方体ABCD-A的面对角线A上存在一点P使得AP+最短，求AP+的最小值。4题图 分析:通过旋转把立体图形化为平面问题来解决 解：将三角形A旋转到与对角面共面时，如图，此时AP+，AD或用余弦定理AD 3，O为单位正方体ABCD-A侧面ADD的中心，在面ABCD上存在一点P使得OP+最短，求OP+的最小值。分析：通过对称变换“化曲为直” 解：作关于面ABCD的对称点O，由对称性知PO=PO，此时OP+= OP+即与面ABCD的交点即为所求P点，，=故OP+的最小值为 二，截面周长、面积最值问题 通过构造目标函数转化为函数的最值，注意实际问题中的自变量的取值范围 4，如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为和，所成的角为，（均为常数且）则平行于这两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中⑴求周长的取值范围 ⑵求截面四边形EFGH面积的最大值 分析：由线面平行性质定理先确定截面形状，用平面几何知识求出EF，EH，最后构造函数解决 解：面EFGH，AC面ABC，面ABC面EFGH=EF，同理HG//AC EF//HG，同理EH//FG，四边形EFGH为平行四边形，又，EH//BD，或，在中，，中，，令题设知则，EF=，EH= ⑴周长=故周长的取值范围是 ⑵S，当时即E为AB的中点时S所以截面四边形EFGH面积的最大值是 三，三视图中的最值问题 5，构造几何模型 （海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（ ） A， B， C，4 D， 解：由题意可构造长方体模型，长方体的对角线AC为题中要求的几何体的棱长，长方体的三个面分别作为三视图中的三个投影面，设长方体的三棱长分别为将平面作为正视图投影面，则。侧视图中棱的投影长为，俯视图中棱的投影长为。=+ 所以的最大值为4（当时取等号） 点评，本题主要考查对三视图的理解以及不等式最值的求法，其中解决的关键就是构造长方体模型将抽象问题具体化 6，（大联考卷）用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，求这个几何体的最大体积与最小体积的差 解析：本题主要考查空间想象力与三视图的相关知识，属于基础题。由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有5个小正方体，上面有2个，公7个；体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，公11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是4 四，面积，体积最值问题 7，半径为4的球面上有A,B,C,D四点，且满足ABAC，ACAD,ADAB，求的最大值。 分析:先由球的内接长方体性质得出定值关系，再由均值不等式求出最大值 解析：设。由已知可将该四面体ABCD补成一个球的内接长方体，长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以得，又；；，故 =32，(当且仅当时取等号) 8，（全国卷）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2求四面体ABCD的体积的最大值 第6题图 解析：过CD作平面PCD使AB平面PCD交AB于P，点P到CD的距离为，则有V四面体ABCD=V=。当直径通过AB与CD的中点时， 故V 点评，本题主要考查简单几何体中三棱锥的体积求法，用了“割补法”，其中解决的关键就是分析出何时体积最大，本题难度较大。 （2011?江西）如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．（1）当棱锥A′﹣PBCD的体积最大时，求PA的长； 考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质。 分析：（1）令PA=x（0＜x＜