(数字信号处理程佩青.docVIP

二维信号处理的一般方法 §1 引言 实践中不少信号是二维的，图象信号是一个典型的例子。早期的图象处理技术采用的是信号处理的方法，其中不少技术至今仍广泛地应用着。但是后来人们发现信号处理所得到的一个好的图片，并不一定能让人看着舒服。这是因为人的视觉对图象的感受和信号处理中所采用的质量指标并不协调。20世纪80年代，图象处理技术从采用信号处理的方法转向了采用人工智能、模式识别的方法，形成了一个新的技术领域——计算机视觉。 然而本章仍只讨论二维信号的信号处理方法。这固然是因为由此而建立起来的许多技术还被广泛地应用着，另外也因为它是计算机视觉的研究基础。二维信号可以通过扫描变成一维信号——电视信号就是一个典型例子——这种信号的处理，本质上仍是一维的，这里不再作讨论。我们只讨论直接对二维信号进行处理的方法，它们是从一维的方法中推广过来的，但并不是所有的一维处理技术都能推广到二维中来。这一点将在以后的讨论中予以说明。本章讨论的内容是把一维信号处理中的时域和频域技术推广到二维中来。本节则先把各种术语和变换推广过来。 无论是二维信号还是二维线性定常的系统，在时域里都表示成为一个二维序列f(,)。因此我们从介绍基本的二维序列开始我们的讨论。 单位样本序列定义为： (7.1) 即仅在（0，0）点取1值而在其它点均为零的序列。此序列作用到线性定常系统后的输出，即称为该系统的脉冲响应h(,)。这里的定常性是指无论冲激作用到哪一点（比如(,)点），所得到的输出都是同形状的，只不过中心点的位置不同（由(,)给定）罢了，即当输入为时，输出为：的系统称为定常的。（附带说明一句：本教材一直采用“定常”这一术语，读者应明确：对一维连续系统它指的是time invariant（时不变），对一维离散系统它指的是Shift invariant（移不变），对二维系统指的是Space invariant（空间不变）——这因为对图象来说(,)表示了空间点的位置）。 单位阶跃序列定义为： (7.2) 其中符号表示二集合的交集。即同时满足和的(,)点处u(,)=1，其余各点处u(,)=0。显然它和单位样本序列的关系为： u(,)= (7.3) 若取变量置换：令则又可表示为： u(,)= (7.4) 二维（实）指数序列定义为： f(,)= (7.5) 二维复指数序列定义为： f(,)= (7.6) 一个二维系统的输入序列x(,)可以分解成偏移单位样本序列{} 的加权和，加权系数为n1–m1=0,n2–m2=0处的x值x(m1,m2)。即： x(,)= 而对定常系统来说，输入时，输出为。从而对线性定常系统来说，由于叠加原理成立，所以输入x(,)时，输出y(,)将为： y(,)= (7.7) 仍表示成：y(,)=x(,)h(,) 这就是线性定常系统的卷积表示式。 可以分解成两个一维序列相乘的二维序列称为可分序列：f(n1,n2)=f(n1)f(n2). n10 或n20时值全为零的序列称为二维因果序列。 一般情况下（无论系统是否是线性的或定常的）都可以用二维差分方程来表示。对线性的二维系统又可用二维的线性差分方程来表示，它的一般形式为： = (7.8) 和一维情况一样，只有给定了一定的起始条件之后，此差分方程才唯一地对应了一个系统。 二维序列f(,)的二维傅立叶变换定义为： = f(,) (7.9) 它的反变换定义为： f(,)=×dd (7.10) 类似地也可写出二维z变换的定义为： F(,)=f(,) (7.11) 它的反变换为： f(,)=dd (7.12) 其中、 分别为收敛域中的对和的两个闭路。 应注意，和一维的情况不同，二维序列z变换的收敛域一般是很难求到的。而给不出收敛域，z变换就失去了意义。因此虽然可以由一维z变换的定义推论出二维z变换的定义，但它的实用价值要比一维的差多了。 对傅立叶变换或z变换来说，卷积定理仍是成立的。即若： y(,)=x(,)h(,) 则有：Y(,)=X(,)H(,) 另外，定义在有