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第四章 根轨迹法 第一节 根轨迹图 根轨迹图 第二节 绘制根轨迹的数学依据 闭环特征方程的几种表达形式 闭环特征方程的几种表达形式 绘制根轨迹的数学依据 绘制根轨迹的数学依据 绘制根轨迹的数学依据 绘制根轨迹的数学依据 绘制根轨迹的数学依据 绘制根轨迹的数学依据 绘制根轨迹的数学依据 第三节 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则的应用 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则的应用 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则的应用 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的一般规则 绘制根轨迹的规则表 绘制根轨迹的规则表 第四节 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 确定闭环极点的方法 确定闭环极点的方法 第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹 参数根轨迹 参数根轨迹 参数根轨迹 多回路系统的根轨迹 多回路系统的根轨迹 多回路系统的根轨迹 第六节 正反馈回路和非最小相位系统的根轨迹 正反馈回路的根轨迹 正反馈回路的根轨迹 正反馈回路的根轨迹 正反馈回路的根轨迹 非最小相位系统的根轨迹 非最小相位系统的根轨迹 小 结 证明 设 为靠近开环复数极点 的根轨迹上点，所以开环零点和极点指向 点矢量的相角和它们指向 矢量的相角相等。由于 位于根轨迹上，满足相角条件，即 规则8 根轨迹与虚轴的交点 当根轨迹与虚轴相交时，表示特征方程式存在纯虚根，此时系统处于等幅振荡状态。 根轨迹与虚轴的交点，可通过下述方法求得： 采用劳斯稳定判据； 采用试探法求解； 令特征方程中的 ，然后再使其实部和虚部分别等于零，求出 、 ，这时得到的 值，就是根轨迹与虚轴交点的频率，而 值则为临界稳定增益。 规则9 根轨迹的走向 以闭环极点 形式表示的闭环特征方程式为 以开环零、极点形式表示的闭环特征方程式为 当 时， 与 无关，且有 即闭环极点之和等于开环极点之和。开环传递函数极点确定后，其和为常数。当 变化时，若部分闭环极点在 平面上向左移动，则另一部分闭环极点必向右移动，以保证全部极点为常数。此规则可用于定性判断 时的根轨迹走向。 例4 绘制图示系统的根轨迹。 解 根据例2、例3已 知系统根轨迹的分支数、起始点、分离点，实轴上的根轨迹和渐近线与实轴的交点及相角，现求系统根轨迹与虚轴的交点。 令特征方程中 ，得 解本题的MATLAB程序为 % 1/s(s+1)(s+2) n=[1]； d=[conv([1,1],[1,2])0]； rlocus(n,d) 令实部和虚部分别等于零，可得 因此，根轨迹在 点与虚轴相交，交点对应的 值等于6。 例5 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹。 解 ⑴根轨迹的起点、终点及分支数 系统有3条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-2，-3），终点为开环零点-1和无穷远零点。 ⑵实轴上的根轨迹 实轴上的0至-1和-2至-3间的线段是根轨迹的一部分。 ⑶根轨迹的渐近线 ⑷根轨迹的分离点 根据公式 ，可得分离点为 解本题的MATLAB程序为 % k(s+1)/s(s+2)(s+3) k=1 z=[-1]； p=[0,-2,-3]； [n,d]=zp2tf(z,p,k) rlocus(n,d) 解 ⑴根轨迹的起点、终点及分支数 ⑵实轴上的根轨迹 实轴上的0至-3线段是根轨迹的一部分。 例6 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹。 系统有4条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-3， ），终点为无穷远处。 ⑶根轨迹的渐近线 ⑷根轨迹的分离点 渐近线与实轴的夹角分别为 、 ，渐近线与实轴的交点为 。 根据公式 ，可得分离点为 ，分离角为 ，对应分离点的 值 ⑸复数极点 的出射角 ⑹根轨迹与虚轴的交点 系统特征方程为 解本题的