1985年全国初中数学赛联试题及详解.doc

1985年全国初中数学联赛试题及详解 一、选择题（每小题5分，共30分） 1. 设为圆内接四边形，现在给出四个关系式： (1) (2) (3) (4) 其中总能成立的关系式的个数是 (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个 答( ) 解：选（B）因为圆内接四边形，故，且都不能为 0°及180°，故（1）式恒成立；（2）式恒不成立. 同样由，（3）式恒成立；（4）式只有时成立.故只有（1）、（3）总能成立,故选B. 2. 若是大于1的整数，则的值 (A)一定是偶数 (B)一定是奇数 (C)是偶数但不是2 (D) 可以是偶数也可以是奇数 答( ) 解：选（B）当为偶数时，，是奇数；当为奇数时，，且为偶数，故为奇数，因而的值一定是奇数.故选(B). 3. 在平行四边形中，为的中点，过作的平行线交于，连，，，，则图中与面积相等的三角形，除外还有： (A)三个 (B)四个 (C)五个 (D)六个 答( ) 解: 选（C）由题设条件，是的中点，这样图中与面积相等的三角形有三类： (1) 与等底等高的三角形有二个：. (2)一边为边的二倍，而高为上的高之半的三角形有二个：、. (3)与等底同高的三角形有一个：.故共有五个,选（C）. 4. 函数的图像大致形状是 (A)图1中的实线部分 (B)图2中的实线部分 (C)图3中的实线部分 (D)图4种的实线部分 答( ) 解:（C）因的根为0及1，故 由二次函数的图像可知，函数的图像的大致形状是图3中的实线部分. 故选(C). 5. 表示取数的整数部分，例如等，若， 且当时，；时，； 时，；时，；则表达式中等于 (A) (B) (C) (D) 答( ) 解:（D）若，则当时，，，因而，与题设时，矛盾，故（A）错.同理，令，可断定（B）错；令，可断定（C）错. 从而（D）正确.故选(D). 6. 如图，在等腰中，是底边上的高，是腰的中点，交于，现在给出三条路线： 设它们的长度分别为，，，那么下列三种关系式： ，，中，一定能够成立的个数是： (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 答( ) 解:（B）由题条件可知，是的重心，因而， 因为,由知,, ，故 即，又 当为等边三角形时，,，因而，这说明 不恒成立.再因 当,且时, 故 即,故不等式不恒成立，即三个不等式中，只有一个恒成立.故选(B). 二、填空题（每小题5分，共30分） 1. 设，，则的值为________. 解:填. 原式=. 方法2: 令，则 ∴ ,即. 2. 设方程的一根加3，即为另一根的80倍，那么=__________. 解:填1985.设方程两根为，由题意，有,即, 又 ∵，∴，从而, 于是. 3. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元，购甲4件，乙10件，共需4.20元.现在购甲、乙、丙各1件共需__________元. 解:填1.05元.设购甲货1件需元，乙货1件需元，丙货1件需元，根据题意，有 即 得,因此购甲、乙、丙各一件共需1.05元. 4. 不等式的解为__________. 解: 原不等式可化为 （1）当时，原不等式解