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第六节 二元函数的极值及其求法 一、问题的提出 二、二元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结 * 一、问题的提出 二、二元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖 元,外地牌子的每瓶卖 元,则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁, 瓶外地牌子的果汁问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益? 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 1、二元函数极值的定义 (1) (2) (3) 例1 例2 例3 2、二元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点. 注意: 驻点 极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 解 求最值的一般方法: 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值. 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 3、多元函数的最值 解 如图, 实例: 小王有200元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买 张磁盘, 盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为 .设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果. 问题的实质:求 在条件 下的极值点. 条件极值:对自变量有附加条件的极值. 解 则 解 可得 即 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 (取得极值的必要条件、充分条件) 多元函数的最值 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 二、多元函数的极值和最值 二、多元函数的极值和最值
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