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第六节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 四、二次曲面 四、小结 解 方程组中第一个方程表示 母线平行于 z 轴的圆柱面, 准线是 xOy 面上的圆,圆心在原点O, 半行为1. 方程组中第二个方程表 示一个母线平行于 y 轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表 示上述平面与圆柱面的交线. x y z O 表示上述半球面与圆柱面的交线. 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为a的 上半球面. 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线 是xOy 面上的圆, 方程组就 x y z O 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 二次曲面. * 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义: 以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地:球心在原点时方程为 解 根据题意有 所求方程为 根据题意有 化简得所求方程 解 例4 方程 的图形是怎样的? 根据题意有 图形上不封顶,下封底. 解 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状. (讨论旋转曲面) (讨论柱面、二次曲面) (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程. 定义 二、柱面 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 柱面方程的建立(见板书) 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征: (其他类推) 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴 二、旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 如图 将 代入 将 代入 得方程 所以只要将方程z?y cot ? 中的y 改成 例5 试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为?的圆锥面的方程. 解 在yO z 坐标面点,直线L的方程为 z?y cot ? , 因为旋转轴为 z 轴, 就得到所要求的圆锥面的方程 或 其中a?cot ? . z 2?a 2(x 2?y 2), O x y z a 例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程. 旋转双曲面 旋转椭球面 旋转抛物面 二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称之. 相应地平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面. (一)椭球面 椭球面与三个坐标面的交线: 这些交线都是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成. 旋转椭球面与椭球面的区别: 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 (二)椭圆抛物面 ( 与 同号) 椭圆抛物面 用截痕法讨论: (1)用坐标面 与曲面相截 截得一点,即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. (2)用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴 顶点 (3)用坐标面 , 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下: 特殊地:当 时,方程变为 旋转抛物面 (由 面上的抛物线 绕它的轴旋转
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