线性代数4.pptVIP

例5: 设 求矩阵X使其满足 AXB=C. 解: 由于 所以, A-1, B-1都存在. 且 又由 AXB = C, 得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1, 则 X = A-1CB-1. 于是 X = A-1CB-1 例6: 解矩阵方程 解: 给方程两端左乘矩阵 得 所以 例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵. 证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E, 则 故A可逆, 且A-1 = 又由 可得 因为 A 可逆，所以 A＋2E 可逆，且 又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O, 则 故(A+2E)可逆, 且 (A+2E)-1 = 或者 * 在数的运算中, 当数 a ? 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩阵的运算中, 单位阵 I 相当于数的乘法运算中 的1, 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得 为a 的倒数, 或称a的逆(元). 其中 AA-1 = A-1A = I, 则矩阵A称为可逆矩阵, 称A-1为A逆阵. 一、逆矩阵的概念和性质 §2.4 逆 矩 阵 定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = I 则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆 矩阵记作A-1, 即 （1）A与 为同阶方阵； （2）若 B 是 A 的逆矩阵，那么 A 也是 B 的逆矩阵; (3) 例如: 设 由于 AB = BA = I, 所以 B 为 A 的逆矩阵. 说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的. 事实上: 若设B和C是A的逆矩阵, 则有 所以, A的逆矩阵是唯一的, 即 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得: B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C. B = C = A-1. 解: 利用待定系数法. 例1: 设 求A的逆矩阵. 是A的逆矩阵, 设 即 则 又因为 则 解得, 所以 即 AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法. 证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = I. 定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | ? 0, 且 其中A*为矩阵A的伴随矩阵. 故 | A || A-1 | = | I | = 1, 所以, | A | ? 0. 由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | I, 知 当| A | ? 0时, 按逆矩阵的定义得, 说明： （1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件， 并给出了逆矩阵的一种求法——公式法. (2) 上（下）三角矩阵可逆当且仅当 主对角元全不为0，且当 时 这里逆矩阵由定义得到！ 若 当 ?1?2···?n ? 0时，A 可逆，且 例2、当a，b满足什么条件时，矩阵 A 不可逆，其中 解： 由矩阵可逆的充要条件可知： 当a=1或b=2时，A不可逆. 当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异矩阵. 由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵. 若A可逆，那么由 AB = O B = O 由AB = AC B = C 证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1, 推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1. 故| A | ? 0. 因而, A-1存在, 于是 B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1. 故结论成立. 推论说明：若 AB＝E，则一定有 BA＝E. 当| A | ? 0 时, 定义 A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数). 且此时对任意整数?, ?, 有 A?A? = A?+?, (A?)? = A??. 逆矩阵的运算性质 (1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A. (2) 若矩阵A可逆, 且? ? 0, 则 ?A 亦可逆, 且 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1. 证明: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=AA-1=I, 所以 (AB)-1=B-1A-1. 一般地 证明: (4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T. AT(A-1)T =(A-1A)T=I