第一部分函数的极限与连续教学课件.pptVIP

第一章　函数的极限与连续 本章主要内容 §1.1 函数的概念 §1.2 函数的特性 §1.3 反函数 §1.4 基本初等函数 §1.5 复合函数、初等函数 *§1.6 函数关系应用举例 本章主要内容 §1.7 数列的极限 §1.8　函数的极限 §1.9　无穷小量与无穷大量 §1.10 极限的运算法则 §1.11 两个重要极限 §1.12 函数的连续性 学习目标 理解函数的概念、函数的特性；了解反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念； 了解数列与函数极限的描述性定义；左、右极限的概念；无穷小、无穷大的概念及相互的关系与性质；对无穷小进行比较； 掌握极限四则运算法则；应用两个重要极限求极限；无穷小的性质；函数在一点连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质；间断点的类型；求连续函数和分段函数的极限. 1.1 函数的概念 1. 常量与变量 在自然现象或科学试验等过程中，经常会遇到两种不同的量：一种量在过程中不发生变化而保持一定的数值，这种量称为常量(或常数)；另一种量在过程中可以取不同的数值，这种量称为变量.如冰化成水的过程中，所吸收的热量、与温度、时间等是变量。通常用字母α，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量． 2. 区间与邻域 对于某个实际问题来说，一个变量只能在一定的范围内取值．变量的取值范围通常用区间表示．区间分为闭区间、开区间、半开半闭区间、无穷区间等。 在区间定义的基础上，如图，我们把开区间(α-δ,α+δ)(δ>0)叫作点α的δ邻域，α叫作邻域的中心，δ叫作邻域的半径． 3．函数的概念 定义1 设x,y是两个变量，D是一个实数集．如果对于D内的每一个数x，按照某个对应法则，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作.x叫作自变量，y叫作因变量，或者函数值，实数集D叫作这个函数的定义域. 当取数值时，与相对应的的值叫作函数在点处的函数值，记作或.函数所有函数值的集合叫作函数的值域． 求函数的定义域时应遵守以下原则： (1) 代数式中分母不能为零； (2) 偶次根式内表达式非负； (3) 对数中真数表达式大于零； (4) 反三角函数要根据各自的定义域； (5) 两函数代数和的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (6) 对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义. 1.2 函数的特性 1. 函数的单调性 单调增加函数、单调减少函数、单调区间 2. 函数的奇偶性 　　奇函数：奇函数的图象关于原点对称. 　　偶函数：偶函数的图象关于y轴对称． 1.4　基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数． 1.5　复合函数、初等函数 1.7　数列的极限 1.9　无穷小量与无穷大量 1.10 极限的运算法则 1.12　函数的连续性 例5 解 1、无穷小 定义1 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。 例如 注意 （2）绝对值很小的常数不是无穷小。 （1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 （3）常数中只有数0是无穷小.。 无穷小量的性质 性质1 　有限个无穷小量的代数和是无穷小量； 性质2 　有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质3 　无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量； 性质4 　常数与无穷小量的乘积是无穷小量． 定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和； 反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。即 2、无穷大 定义2 例如 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向. （2）任意一个绝对值很大的常数都不是无穷大量。. 例如 3、无穷小与无穷大的关系 定理2 4、无穷小的比较 定义3 例1 比较下列无穷小的阶数的高低： 解 1、极限的四则运算法则 定理1 推论1 推论2 注意 （1）使用上述法则时，要求每个参与运算的函数的极　　　限都必须存在。 （2）在使用商的法则时，还要求分母的极限不能为零。 例1 解 例2 解 例3 例4 解 解 例5 例6 解 解 例7 解 例8 解 归纳例6、例7及例8，可得以下的一般结论 例9 解 余弦函数 正切函数 余切函数 5. 反三角函数 定义1 单调增加、有界、奇函数 例1 求下列各式的值： 解 一般地，由反正弦函数的定义，可以得到 例2 求下列各式的值： 解 定义2 单调减少、有界函数 例3 求下列各式的值： 解 一般地，由反余弦函数的定义，可以得到 例4 求下列各式的值： 解 定义3 单调增加、有界、奇函数 定义4 单调减少、有界函数 例5 求下列各式的值：